Verständnis: 1/(k+1) - divergent aber 1/(k^2) - konvergent?

Question

Kann mir einer plausibel erklären warum:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k+1} \)

divergent ist und

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \)

konvergent?

Ist doch beides quasi 1 durch unendlich.

Answer 1

(i)  Für  n > 0  definiere die Folge  {a_n}  durch

\( a_{n}=\sum \limits_{k=n+1}^{2 n} \frac{1}{k} \)

Es gilt  a_n+1 - a_n = 1/(2n + 1) - 1/(2n + 2) > 0  für alle  n > 0. Also ist  {a_n}  monoton steigend und es ist  a_n ≥ a₁ = 1/2  für alle  n. Daraus kann man schließen, dass die harmonische Reihe divergiert.

(ii)  Für  n > 0  definiere die Folgen  {a_n}  und  {b_n}  durch

\( a_{n}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \) sowie \( b_{n}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}+k} \)

Man zeigt leicht per Induktion, dass für alle  n > 0  gilt  b_n = 1 - 1/(n + 1).

Es folgt:

\( \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^{2}}=1+\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{(k+1)^{2}}=1+\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}+2 k+1}<1+\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}+k}=1+1-\frac{1}{n+1}=2-\frac{1}{n+1} \)

Die Folge {a_n}  ist also nach oben beschränkt und offensichtlich auch monoton steigend.

Daher existiert der Grenzwert  g = lim_n→∞ a_n.
Man kann zeigen, dass gilt  g = π²/6.