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Hier wäre die Aufgabe!  Unbenannt.PNG

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Hallo

 zeichnen musst du schon selbst., dann rechne die Koordinaten aus in die (x,y,z) abgebildet werden und bestätige dass ihre Summe =0 ist, sie also in der Ebene liegen .

Gruß lul

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Wie rechne ich denn die Koordinaten aus , in die (xyz) abgebildet werden ?

Hallo

 weisst du denn nicht, wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert, tu das und du hast die 3 Komponenten des Bildvektors.

lul

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So weit ich das im Augenblick übersehe, fehlen dir / euch für die Bewältigung dieser Aufgabe sämtliche  juristischen Grundlagen. Daher ist sie Wert los - aber entscheide selber.
    Unsere Frankfurter AGULA Vorlesung  war ja qualitativ hochwertig;  wir bekamen gesagt, dass die ( drei ) Spalten der Matrix die Bilder der drei kanonischen Einheitsvektoren sind. Und jetzt bilde mal die Summen

            3
        SUMME  P  (  i  ;  k  )  =  0      (  1  ) 
          i = 1

    Sollte dir das schwer fallen; in  ( 1 )  fordere ich dich auf,  sämtliche drei Spaltensummen zu bilden - sie sind alle Null.  Aber das heißt doch, dass alle drei Bildvektoren, sprich das ganze Bild,  in Ebene E liegt:

          E  (  x  ;  y  ;  z  )  |  x  +  y  +  z  =  0    (  2  )

    Zunächst mal  ist das nichts weiter als die Aussage

      Bild  (  P  )  <  =  E      (  3  )

    (  Ich habe leider kein Teilmengensymbol;  ( 3 ) soll also heißen:  Das Bild von P ist ein ( echter oder unechter ! ) Unterraum von E )  ( NOCH wissen wir nicht mal, ob P  den |R  ³  surjektiv auf E abbildet, wenn du verstehst, was ich meine. )
  Bedingungen ( 2;3 ) sind allzu schwach; für Projektion verlangst du mehr.  Eine Projektion P  muss das Matrizenpolynom befriedigen

        P  ²  =  P    (  4  )

      Man sagt auch idempotent  von Latein " idem "  = selbst.  D.h. jede Potenz von P gibt wieder P .
      Das Dümmste, was du jetzt machen könntest: all diese  3 X 3 Matrizenmultiplikationen ( " Matmul "  )  per Hand ausführen. Von Vorn herein ist schon mal klar:  Eine Matrix, die ( 4 ) befriedigt, kann nur ===> Eigenwert Null oder Eins haben. Aber es gilt eben mehr; P ist  ===> halbeinfach ( oder was das Selbe ist: ===> diagonalisierbar  )
  Junge diese Aufgabe hat nur dann Sinn, wenn man dir " gelernt " hat:  Identität  ( 4 )  ist äquivalent zu der Aussage
  "  Der Definitionsbereich bzw. Definitionsraum  V  (  hier :  V  =  |R  ³  )  lässt sich darstellen als  ===>  direkte Summe 

          V  =  U0  +  U1    "    (  5  )

      Hierbei ist  U0  der Kern von P  (  wobei leider Manchen von euch immer noch nicht klar ist:  Der Kern ist der Eigenraum zum Eigenwert Null )  und U1 entsprechend der Eigenraum zu Eigenwert  Eins.
    P verdient den Ehrennamen  "  Projektor auf E  "  doch offenbar nur dann,  wenn U1  =  E  .  Überleg mal, was P macht.  Die beiden Komponenten eines Vektors, die in  E liegen, überleben.  Und die dritte wird abgeschossen.  Stell dir vor, du projizierst den Schatten eines 3 D Körpers auf Ebene  E .
    Jetzt ist  Matmul angesagt;  nehmen wir uns doch mal in ( 2 )  einen Vektor  ( x | y | z )  €  E  her ,  ob der wirklich Eigenwert Eins hat.    Zunächst  die x-Komponente  b1  des  Bildvektors

    b1  =  1/3  (  2  x  -  y  -  z  )  =            (  6a  )
          =  1/3  [  2  x  -  (  y  +  z  )  ]  =      (  6b  )
          =  1/3  [  3  x  -  (  x  +  y  +  z  )  ]        (  6c  )

      Aber die runde Klammer in  (  6c  )  verschwindet auf Grund von  Definition  (  2 )  , so dass tatsächlich  b1  =  x  .  Analog rechnet man nach  b2  =  y  und  b3  =  z  ,  wzbw  .
    Jetzt stellt aber E einen 2 D Unterraum dar; der Eigenwert  Eins ist doppelt  ===>  entartet  .

      E1  =  E2  =  1      (  7a  )

    Den dritten Eigenwert  E3  besorgen wir uns nach der Metode  Okasa Brutal;  wir gehen ganz listig über die Spur -  wirf bitte einen Blick in  deine Matrix .

      Sp  (  P  )  =  E1  +  E2  +  E3  =  2  ===>  E3  =  0  (  7b  )  ;  wzbw

    Doch etwas Weiteres gilt es noch zu beachten;  deine Matrix ist  ===>  Hermitesch .  ( sieht man auf einen Blick )  Hermitesche  Matrizen besitzen  stets eine ===>  Ortonormalbasis aus Eigenvektoren.  Und Hermitesche Projektoren -  die also Polynom  ( 4 )  befriedigen  -  heißen ortogonale  Projektionen.  Dann sind U0 und U1 nicht  bloß  linear  unabhängig, sondern sie stehen auch im Sinne des Skalarprodukts aufeinander senkrecht:

      <  U0  |  U1  >  =  0        (  8  )

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