dass du Kettenregel und Produktregel brauchst stimmt.
Man hat $$ f=u\cdot v$$
$$ f'=u'\cdot v + u\cdot v'$$
$$ u = x\qquad u'=1\\ v=ln(x+e^x)^2$$
v ist eine verkettete Funktion
$$ v=b(z)$$
$$ v'=b'(z)\cdot z'$$
$$ b= x^2\qquad b'=2x\\ z=ln(x+e^x)$$
z ist auch wiederrum verkettet
$$z=s(t)$$
$$z'=s'(t)\cdot t'$$
$$s=ln(x)\qquad s'=\frac{1}{x}\\t=x+e^x\qquad t'=1+e^x$$
Jetzt wird alles nur noch eingesetzt:
$$z'=\frac{1}{x+e^x}\cdot(1+e^x)=\frac{1+e^x}{x+e^x}$$
$$v'=b'(z)\cdot z'=2\cdot ln(x+e^x)\cdot \frac{1+e^x}{x+e^x}=2\cdot \frac{ln(x+e^x)\cdot (1+e^x)}{x+e^x}$$
Man hat also
$$ f'(x)=1\cdot ln(x+e^x)^2+x\cdot 2\cdot \frac{ln(x+e^x)\cdot (1+e^x)}{x+e^x}\\=\frac{(x+e^x)\cdot ln(x+e^x)^2+2x\cdot ln(x+e^x)\cdot(1+e^x)}{x+e^x}\\=\frac{ln(x+e^x)\cdot[ln(x+e^x)\cdot(x+e^x)+2x\cdot(1+e^x)]}{x+e^x}$$
Das ganze dann hier abzuleiten, ist besonders hier auch auf nicht nur einer Weise machbar. Man kann ja auch die Funktion etwas anders umschreiben. So hier:$$ f(x)=x\cdot ln(x+e^x)^2 =x\cdot ln(x+e^x)\cdot ln(x+e^x)$$
Dann hätte man
$$ f=u\cdot v\cdot w$$
$$f'=u'\cdot v\cdot w +u\cdot v'\cdot w+u\cdot v\cdot w'$$