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Ich weiß nicht, ob meine Lösung so stimmt, daher bitte ich, um eine Bestätigung oder eine Hilfestellung / Korrektur.

Es handelt sich um eine Äquivalenzrelation, da folgendes gilt:
1) Reflexivität. Zu zeigen a ≡ a mod 5,
d.h. es existiert ein k mit a - a = 5k mit k € Z.

Bsp.: 0 - 0 = 5 * 0
2) Symmetrie. Zu zeigen a ≡ b mod 5 => b ≡ a mod 5,
also a ≡ b mod 5  -> 5k = a - b mit k aus Z => 5 * (-k) = b - a mit -k € Z
-> b ≡ a mod 5

3) Transivität. Zu zeigen a ≡ b mod 5 und b ≡ c mod 5 -> a ≡ c mod 5.
Das heißt 5k = a - b und 5l = b - c -> a - b + b - c = 5 (k+l) = a - c
-> a ≡ c mod 5.

Die Menge aller Äquivalenzklassen [b] mod 5 = {a € Z: a = 5k + b mit k € Z und 0 <=  b <= (5-1)} besteht aus
den 5 Äquivalenzklassen mit b als Repräsentant. b € {0,1,2,3,4} sind Repräsentanten der jeweiligen Äquivalenzklassen, aber nicht b = 5, da es sich bei a = 5k + 5 um ein Vielfaches von 5 handeln würde und somit der Rest b = 0 wäre.

Ist das so korrekt? Muss sich bei 2) Symmetrie und 3) Transivität jeweils Beispiele machen oder reicht das so?
Habe ich das mit den Äquivalenzklassen so richtig und ausreichend aufgeschrieben?

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Man könnte auch sagen:

!. Reflexivität: Jede Zahl lässt beim Teilen durch 5 den gleichen Rest, wie sie selbst.

2. Symmetrie: Wenn a und b den gleichen Rest beim Teilen durch 5 haben, dann haben auch b und a den gleichen Rest beim Teilen durch 5.

3. Transitivität: Wenn a und b den Rest r beim Teilen durch 5 haben sowie b und c den Rest r beim Teilen durch 5 haben, dann haben auch a und c den  Rest r beim Teilen durch 5.

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