ich verstehe das Grundprinzip des Epsilon-Delta-Kriteriums und wie man grundsätzlich Funktionen abschätzen kann. Beim Beweis der Stetigkeit der Funktion f(x)=1/x im Definitionsbereich R ohne null komme ich jedoch ab einem gewissen Punkt nicht weiter.
Mein Vorgehen: An jeder Stelle x0 versuchen Stetigkeit zu zeigen. Dazu nehmen |f(x)-f(x0)| und formen ihn um auf:
$$\frac { |x-x_{0}| }{ |x*x_{0}| } $$
Das ist offensichtlich nach Vorgaben des Epsilon Delta Kriteriums kleiner gleich
$$\frac { δ }{ |x*x_{0}| } $$
Im Internet habe ich dazu schon vieles gesehen und häufig wurde danach δ wie folgt gesetzt:
$$δ=\frac { x_{0} }{ 2 } $$
Die Idee dahinter ist wohl, dass der Unterschied zwischen x und x0 nicht so extrem ausartet und somit eine Abschätzung leichter wird. Nur so ganz habe ich das nicht verstanden und wie man so einen Schritt irgendwie begründen könnte.
Mein eigener Ansatz wäre gewesen |x| einmal für alle Werte größer oder gleich 1 zu betrachten, wobei der Beweis relativ einfach wäre, da das x im Nenner den Nenner auf jeden Fall größer macht (oder bleibt gleich) und somit kann der ganze Bruch abgeschätzt werden. Das Problem an diesem Ansatz ist nur, dass ich keine Abschätzung für |x| kleiner gleich 1 finde.
Ich verstehe wie gesagt einfach nicht wie ich nach
$$\frac { δ }{ |x*x_{0}| } $$
den Term weiter Abschätzen soll, sodass ich das Epsilon-Delta-Kriterium für alle reellen Zahlen ohne Null als Definitionsbereich beweisen kann.