Möglichst große Intervalle, in denen die Funktion f streng monoton ist

Question

Bestimme möglichst große Intervalle, in denen die Funktion f streng monoton ist.

a) f(x) = 4x + x^2

d) f(x) = 1/8 x^4 + 4x

Answer 1

Die mögliche Stellen, an denen die aufgeführten Funktionen ihr Monotonieverhalten wechseln, sind ihre Extremstellen oder ihre Polstellen. Zusammen mit \(-\infty\) und \(+\infty\) bilden sie die Grenzen der Monotonieintervalle.

Comments

Können Sie mir die erste Aufgabe nicht vorrechnen, ich habe echt keine Ahnung von

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$$ f(x) = 4x+x^2 = (4+x)\cdot x $$Die erste Funktion ist eine verschobene und nach oben offene Normalparabel. Sie hat offenbar die Nullstellen \(x=4\) und \(x=0\). In der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt die Scheitelstelle der Parabel, hier also bei \(x=2\). Da die Parabel nach oben offen ist, muss sie im Intervall \((-\infty\mid 2]\) streng monoton fallen und im Intervall \([2\mid+\infty)\) streng monoton steigen.

Answer 2

a) f(x) = 4x + x^{2}

Falls du noch nicht ableiten kannst, kannst du hier einfach den Scheitelpunkt ausrechnen. 

d) f(x) = 1/8 x^4 + 4x

Hier ist die Ableitung das einfachste.

f '(x) = 1/8 * 4 * x^3 + 4

= 1/2 x^3 + 4

Nun die Nullstellen der Ableitung bestimmen.

1/2 x^3 + 4 = 0

1/2 x^3 = - 4

x^3 = -8

Nun weisst du bestimmt (-2)^3 = -8

D.h. x = -2.

Die reelle Achse wird durch x = -2 in zwei Intervalle aufgeteilt. Links und rechts von x = -2 ändert die Steigung das Vorzeichen nicht mehr. Berechne die Steigung an einer Steller rechts und an einer Stelle links von x = -2.

Bsp. f ' (0) = 1/2 0^3 + 4 = 4 > 0

und f ' (-3) = 1/2 (-3)^3 + 4 = -13.5 + 4 < 0

Darum

Links von x = -2 ist f streng monoton fallend, rechts von x = -2 ist f streng monoton steigend.

In (-unendlich, -2] ist f streng monoton fallend und im Intervall [-2, unendlich) ist f streng monoton steigend.

Skizze: ~plot~ 1/8 x^4 + 4x; x = -2 ~plot~

Beide Intervalle sind übrigens gleich gross.  Für unendlich gelten die "normalen" Rechenregeln nicht. Z.B. ist " unendlich + 1 = unendlich "