0 Daumen
743 Aufrufe

Sei f : I → R eine Funktion und I ⊆ R ein Intervall. Beweisen Sie die folgenden Aussagen zur (gleichmäßigen) Stetigkeit bzw. zur Lipschitz-Stetigkeit.


(a)  Ist f auf I Lipschitz-stetig, so ist f auf I gleichmäßig stetig.


(b)  Ist f auf I gleichmäßig stetig, so ist f auf I stetig.


(c)  Ist f ∈ C^1([a, b]), so ist f Lipschitz-stetig auf I = [a,b].

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

  Ich lade dich ein, dich mal mit    Edward Nelson zu beschäftigen und seiner  ===>  Nonstandard Analysis  ( NSA ; IST )   Lehrbuch von Alain Robert bei wiley; ich bin da ein absoluter Fan von .

   Die Notation wird klarer, wenn wir ab Jetzt vereinbaren: 

   1) Die Variable  "  klein  a  "  darf nur dann als  "  groß  A  "  notiert werden, wenn ihr Wertebereich auf Standardwerte eingeschränkt  ist ( Ähnlich wie man  traditionell ja auch Vektoren durch gotische Buchstaben hervor hebt. )

   2) Inf(initesimale)  Zahlen  werden durch griechische Buchstaben dargestellt.

   Noch ein wort in eigener Sache; nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen   "  Hochpunkt  "  statt Maximum. Ich kann es auch; es heißt nicht   "  Äquivalenzrelation  "  , sondern Gleichheitsbeziehung  ( GB  )    Die Relation  "  x  (  =  )  y  "  ,  in Worten:

   "  x  ist inf benachbart zu y "  , ist eine solche ( Pseudo)  GB  .


     DEFINITION

   ==========================

    Eine Funktion y = f ( x )  heiße inf stetig in  x1  , wenn


       x1  (  =  )  x2  ===>  y1  (  =  )  y2        (  1  )


    ==================================================


     SATZ  1  (  Stetigkeit  )

   ============================


    Sei  Y  =  F  (  x  )    F  ist stetig in X0  <===>  F ist inf stetig in X0



           x  (  =  )  X0  ===>  y  (  =  )  Y0       (  2a  )


    F  ist gleichmäßig stetig auf seinem Definitionsbereich  d  (  F  )  <===>  F  ist  inf stetig auf d


     x1  (  =  )  x2  ===>  y1  (  =  )  y2       (  2b  )


    ================================================================



    die  NSA  ist Case-sensitive; durch die Groß-Klerinschreibung  springt der Unterschied zwischen ( 2a ) und ( 2b ) geradezu in die Augen.


   Zu a)    Die Lipschitzbedingung lautet ja


      |  y2  -  y1  |  <  l  |  x2  -  x1  |      (  3a  )


    Du hast ja l = l  (  f  )  . Da wir unsere Funktion f ja als Standard F gewählt haben, folgt durch Transfer,  dass es eine Standard Lipschitz Konstante L gibt:



      |  y2  -  y1  |  <  L  |  x2  -  x1  |      (  3b  )


     Nunn hast du aber auf der rechten Seite von ( 3b ) die Abnbschätzung


      Standard  *  inf  =  inf     (  3c  )


   Womit bewiesen wäre, dass F ( x ) für alle x aus  dem Intervall inf stetig ist. Nach Satz 1 bedeutetz dies aber: F ist gleichmäßig stetig.

   Aufgabe b) ist ein trojanisches Pferd; die hat sich nämlich ein Anhänger der NSA  ausgedacht .


    Ist  F  auf  J gleichmäßig stetig, so ist  es inf stetig für alle  x  €  J  .   Die Matematik schließt immer vom allgemeinen auf das Besondere; dann ist sie insbesondere inf stetig für alle  X  . Daraus folgt dann die  ( gewöhnliche  )  Stetigkeit für alle  X  .

    ABER NICHT STETIGKEIT  für alle übrigen "  kleinen x "

    Ein typisches Anwendungsbeispiel für das Transferaxiom:


     (V)  X  €  J  |  F  stetig  ===>   (V)  x  €  J  |  F     stetig     (  4a  )


    Mit dem Wort  "  Transfer  "  ist genau das gemeint:  Übertragung einer Aussage von  dem Standardfall auf den allgemeinen Fall; so eine Art Induktion.

   Warum b) so lehrreich ist. Warum kann ich dann nicht Spiegel symmetrisch über transfer beweisen, dass alle stetigen Funktionen auch gleichmäßig stetig sind?

   Stetig für alle x . Insbesondere stetig für alle X und damit inf stetig für alle  X  . Der zu ( 4a ) analoge Tansfer wäre doch


      (V)  X  €  J  |  F  inf  stetig  ===>  (V)  x  €  J  |  F    inf  stetig      (  4b  )

 

   Dieser Transfer ist verboten  oder illegal. Die beiden Bedingungen, die erfüllt sein  müssen, sind hinreichend und nicht notwendig.  Also als Argument eines allgemeinen Beweises taugt es nicht.

   Eine dieser Bedingungen lautet: Das Prädikat muss "  schwarz_weiß " sein; verständlich für jemanden, der den Namen Nelson noch  nie gehört hat.

  ( Stetigkeit gab es bereitss  vor Nelson; inf Stetigkeit noch nicht. )

   ===> Alfred Tarski unterscheidet ja zwischen Sprache und Metasprache.

   Nelsons  NSA ist eine Metasprache zur  ===>  ZFC  .  Ich vergleiche das immer mit dem hypotetischen Mann, der Farben blind auf die Welt kam und die Welt so sieht, wie sie auf einem Schwarzweißfoto abgebildet ist.     Sämtliche Aussagen, die für diesen Mann wahr sind,  sind auch für uns farbtüchtige wahr.

   aber Farbe bringt in unsere Welt einen Kontrast, von dem der Mann nichts ahnt. Wenn wir  "  Rot " sagen oder Grün oder Gelb , dann kann der Mann im Gödelschen Sinne nicht  entscheiden, ob das, was wir da behaupten, überhaupt existiert.

   Ich verweise nur auf die Debatte um die  ===>  Synästesie , wo die existenz dieses Phänomens abgestritten wurde mit dem Hinweis, so etwas könne man sich nicht  vorstellen.

   die c) folgt übrigens über den  MWS  .

Avatar von 5,5 k

Hallo,

Ich verstehe nicht wie Ich den MWS bei c) anwenden muss....

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community