kann mir jemand bei diesen beweisen helfen??
Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie,
1. ) Sei A ∈ Knxn mit Eigenwert λ∈ K invertierbar. Dann ist λ ≠ 0 und λ-1 ein Eigenwert von A-1
2.) Für A, B ∈ Knxn haben AB und BA die gleichen Eigenwerte.
Ich bedanke mich für eure Hilfe
zu 1) Sei A ∈ Knxn mit Eigenwert λ∈ K invertierbar.
==> Es gibt v ∈ K^n mit v≠0 und A*v = λ*v
A invertierbar ==> A^{-1}*A*v = A^{-1}*λ*v
==> v = A^{-1}*λ*v = λ*A^{-1}*v
Da v≠0 gilt auch λ≠0 also λ^{-1}*v = A^{-1}*v , also λ^{-1}
Eigenwert von A^{-1}.
Zu 1)
$$ v = A^{-1} A v = \lambda A^{-1} v $$ also $$ A^{-1} v = \frac{1}{\lambda} v $$
Zu 2)
https://www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2010w/fk_MA9201_04_exercisesolution.pdf
Aufgabe 3
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