Da steht "Gibt es eine Basis aus Eigenvektoren?" ohne Angabe, wovon (von welchem (Unter-)Vektorraum) überhaupt eine Basis gesucht ist.
Berechne einfach einmal wie verlangt die Eigenwerte und Eigenvektoren der angegebenen Matrix. Definition 5.4. in deinen Unterlagen verwenden!
Eine Basis des R^2 bekommst du mit den Eigenvektoren vermutlich nicht. Eine Richtung bleibt ja erhalten (1,0) hat als Bild (1,0) . Die Richtung von (0,1) bleibt nicht gleich. (10,1) ist ja nicht parallel zu (0,1).
Vielleicht eine Basis des Bildes der Abbildung? Überlege dir das und gehe mit deinen Vermutungen in die nächste Vorlesung.
Rechnungen sollten führen zu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=((1,+10),(0,1))