Seitenlängen im Parallelogramm bestimmen anhand Höhen und Diagonale

Question

Im Parallelogramm kenne ich nur die beiden Höhen ha und hb sowie eine Diagonale. Wie berechne ich die Seitenlängen?

Praktischer Hintergrund: Diese Aufgabe stellt sich beim Bau eines Gartentores aus Holz. Traditionell verwendet man eine zwischen der oberen und unteren Horizontalen Strebe eine Diagonale Latte. Deren Winkel möchte ich berechnen. Messen kann ich lediglich die Höhe und Breite des Zwischenraumes. Fest steht die Breite der diagonalen Latte. Die diagonale Latte ist o.g. Parallelogramm. Ihre Diagonale kann ich mittels Pythagoras feststellen.

Comments

Ich kann mir das gerade nicht ganz vorstellen. Ist ein Gartentor nicht eigentlich rechteckig? Wo ist dort das Parallelogramm. Könntest du das vielleicht mal skizzieren, damit ich das richtig verstehe.

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Hi,

hier sind zwei Bilder. Einmal direkt aus der Praxis, damit ihr es euch besser vorstellen könnt:

Und dann eine Abtraktion mit Übertreibung zwecks Verdeutlichung des Parallelogramms:

Ihr seht dort deutlich: Die Hypotenuse (gestrichelt) ist nicht die gesuchte Größe. Ich suche alpha1. Und dafür benötige ich die Länge der unteren (gleich der oberen) Seite des Parallelogramms.

Das Gartentor ist bereits gebaut - durch Ausprobieren bzw. anzeichnen. Aber es muss doch eine mathematische Lösung dieses Problems geben!? Ein befreundeter Maschinenbauingenieur ist bereits daran gescheitert, schiebt das aber auf sein Alter (84).

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.. ich fand Deine Erklärung oben völlig ausreichend.

Mit Deinen Werten \(h_a=60\), \(h_b=4,8\) und \(d=\sqrt{60^2 + 130^2}\approx 143,18\) bekomme ich \(\alpha=26,7°\).

Answer 1

ich denke, folgende Skizze trifft Dein Problem:

Der blau markierten Winkel  \(\alpha\) ist überall gleich, wo ich ihn eingezeichnet habe. Er berechnet sich aus $$\alpha = \arcsin\left( \frac{h_a}{d} \right) + \arcsin\left( \frac{h_b}{d} \right)$$ Die Länge der Diagonallatte musst Du zunächst auf \(|AF|\) senkrecht abschneiden. $$|AF| = \sqrt{d^2 - h_b^2 }$$ Dann berechnest Du das Stück \(|DF|\) $$|DF| = \frac{h_b}{\tan \alpha}$$ trägst das Mass ab und schrägst die Diagonallatte entsprechend an. Auf der anderen Seite (bei \(B\)) genauso.

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.. hatte mich mit sin und cos vertan. Habe das aber korrigiert (s.o.).

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Exakt. Genau. Danke. Ich habe ein halbes Dutzend Onlinetools ausprobiert, diverse Formelsammlungen durchstöbert und nichteinmal den Ansatz einer Lösung gefunden.

Schritt zwei und drei kann ich Anhand der Überbleibsel meines Wissens aus dem Mathe-LK mühelos nachvollziehen. Schritt eins, der Arkussinus und die Herkunft der Werte bzw. die geometrische Grundlage verdutzen mich - schonmal gehört, aber auch damals nur gestreift und komplett vergessen. Ich schaue mal, ob ich das in meinem großen Mathebuch finde.

Wenn ich dich richtig verstehe, sind die Grundlage dieses Schrittes praktisch das Dreieck AFC und jenes, das sich aus ha, d und der oberen Strebe bildet. Weiter komme ich nicht.

Herzlichen Dank.

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OK, ich habe es begriffen und bin dank dir nun ein schlauerer Mensch für den Rest meines Lebens. Aufrichtig vielen Dank.

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Hallo Ferdinand,

Wenn ich dich richtig verstehe, sind die Grundlage dieses Schrittes praktisch das Dreieck AFC und jenes, das sich aus ha, d und der oberen Strebe bildet.

Ja genau - \(\triangle ACF\) ist rechtwinklig. Die Gegenkathete \(h_b\) und die Hypotenuse \(d\) sind bekannt. Damit kann man den Winkel \(\angle CAF = \angle CAD\) berechnen. Der Winkel \(\angle DCA\), den Du oben mit \(\alpha_2\) bezeichnet hast, ist \(\arcsin(h_a/d)\).

Weiter komme ich nicht.

Viel mehr ist es nicht. Im rechtwinkligen Dreieck \(\triangle DCF\) kann man aus \(\alpha\) dann \(|DF|\) berechnen. Es ist Tangens = Gegenkathete zu Ankathete also $$\tan \alpha = \frac{h_b}{|DF|}$$ Auf einer Holzlatte kann man besser Längen als Winkel abtragen!

Answer 2

Hallo

Wenn es wirklich ein Parallelogramm ist, Höhe h, Diagonale d

 dann gilt h/d =sin(α) mit α Winkel der Diagonalen zur Horizontalen, also α=arcsin(h/d) und den Winkel wolltest du wissen? Höhe verstehe ich, was du mit Breite meinst, ist das die andere Höhe im Bild ist Höhe und Diagonale rot. Kannst du an dem Bild erklären, was du genau suchst?

Gruß lul

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Ich suche den in deinem Bild nicht ausgezeichneten Winkel β an Punkt B (oder den vollen Winkel α an Punkt A). Zur Verfügung stehen mir dazu:

Die Diagonale d1

Die Höhe auf d (= h1)

Die Höhe auf a