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Hallo :)
Ich habe hier eine Beweis-Aufgabe, mit der ich leider gar nicht klar komme! :/
Bei einem inhomogenen LGS mit einer Lösung (v1;v2;...;vn) erhält man alle Lösungen, indem man das Tupel (v1;v2;...;vn) zu allen Lösungen (u1;u2;...;un) des zugehörigen homogenen LGS addiert. Beweise diesen Satz.
Wäre super lieb, wenn mir jemand helfen könnte! :)
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sei \( M \) die Matrix, die das LGS \( Mx = b \) mit der Inhomogenität \( b \) erfüllt. \( v \) ist gemäß Vorausetzung der Vektor, der \( Mv = b \) erfüllt, \( u \) erfüllt entsprechend \( Mu = 0 \).

Ist \( v + u \) die Summe dieser beiden Lösungen ihrer Systeme, so gilt

\( M(v + u) = Mv + Mu = b + 0 = b\).

Die Addition von u zu v ist also ebenso eine Lösung des inhomogenen LGS \( Mx = b \).

Dies gilt für die Addition beliebig vieler Lösungen \( u_a \), \( u_b \), ... des homogenen LGS:

\( M(v + u_a + u_b + ...) = Mv + Mu_a + Mu_b + ... = b + 0 + 0 + ... = b\).

Ausgenutzt wurde hierbei das Distributivgesetz für die Linksmultiplikation einer Matrix an einen Vektor.

MfG

Mister
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