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Wie prüfe ich die Symmetrie bei dieser Funktion:

fa(x)= x-a^2 x^3

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Achsensymmetrie zur y-Achse

$$ f(x)=f(-x) $$

Punktsymmetrie zum Ursprung

 $$ -f(x)=f(-x) $$

f dort einsetzen. Es kann nur bei einem davon Gleichheit erfüllt sein. Hier wäre es die Punktsymmetrie zum Ursprung.

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     Machen wir es ganz genau. Fallunterscheidung; a = 0 Dann hast du die ( steigende )  WH  y = x , eine ungerade Funktion, die Nullpunkt symmetrisch verläuft.

   ( Ich will einmal spitzfindig sein;  diese Symmetrie besteht nur extern in Bezug auf das Koordinatenkreuz. Inhärent ist eine Gerade Punkt symmetrisch in Bezug auf jeden beliebigen ihrewr Punkte. ) Und jetzt der allgemeine Fall a   <  >  0

   Was euch eure Lehrer verschweigen; was nicht im Internet steht.

    Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )

   " Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie.

    Sie verlaufen Punkt symmetrisch gegen ihren Wendepunkt. "

    Offensichtlich eine von der besonderen Wahl des Koordinatensystems unabhängige Aussage. Und wie findet man den Wendepunkt?

    die frohe Botschaft; dazu braucht's keine 2. Ableitung. Du gehst immer aus von der ( dir wohl vertrauten ) Normalform


    f  (  x  )  :=  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0       (  1a  )


    Abermals Diktat für  FRS


       x_w  =  -  1/3  a2     (  1b  )


    Hier das sollte allemal leichter von Statten gehen als die Mitternachtsformel ...


   Und die Koeffizienten von deinem f_a lauten in Normalform


        a2  =  a0  =  0  ;  a1  =  -  1/a  ²   ===>  x_w  =  0      (  2  )


      Natürlich sieht man das " auch so "  Aber ich wollt doch den übergeordneten Gesichtspunkt hinein gebracht haben; Schüler neigen nämlich sehr schnell zu dem Trugschluss,  unter den Polynomen 3. Grades gebe es synmmetrische und eben unsymmetrische.

   Jeden Tag im Dschungelcamp; jedes kubische Polynom wieder ein neues Abenteuer ...

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