Funktionalgleichung e-Funktion

Question

Ich stehe vor dem Problem, dass ich die Gleichung f(x^2+y^2+z^2)=f(x^2)f(y^2)f(z^2) habe und jetzt im meinem Buch darauf geschlossen wird, dass f die Exponentialfunktion ist. Ich würde gerne wissen wie man das zeigen kann, da es doch eigentlich eine ganz normale Potenzfunktion sein könnte.

Wäre klasse, wenn da jemand helfen könnte :)

Answer 1

f(x) = e^x

f(x^2 + y^2 + z^2) = f(x^2)·f(y^2)·f(z^2)

e^{x^2 + y^2 + z^2} = e^{x^2}·e^{y^2}·e^{z^2}

Probiere das mit einer Potenzfunktion

f(x) = x^n

f(x^2 + y^2 + z^2) = f(x^2)·f(y^2)·f(z^2)

(x^2 + y^2 + z^2)^n = (x^2)^n·(y^2)^n·(z^2)^n

Die letzte Gleichung ist doch totaler Unsinn oder?

Comments

vielen Dank. Das habe ich nicht gesehen. Ist natürlich logisch :)