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Das hier sind die Aufgaben die ich Lösen sollte.


Aufgabe 1

Bestimmen Sie das größte $$ n \in \mathbb{N}$$, so dass 100! von $$2^n$$ geteilt wird. Begründen Sie Ihre Antwort.


Aufgabe 2

Sei $$n$$ eine natürliche Zahl.Entwickeln Sie eine Formel für die Summe 

$$1+3+5+...+(2n-1)$$

der ersten $$n$$ ungeraden Zahlen. begründen Sie warum ihre Formel für alle $$n$$ das korrekte Ergebnis liefert.


Aufgabe 3


Sei $$n$$ eine natürliche Zahl. Gegeben $$n$$ Punkte auf einer Kreislinie, zeichnen Sie alle Sehnen durch diese Punkte. Stellen Sie eine von $$n$$ abhängige Vermutung, in wie viele Regionen der Kreis maximal zerteilt wird. Wie sind Sie auf die Vermutung gekommen? Überprüfen Sie Ihre Vermutung für einige natürliche Zahlen $$n$$.


Zu Aufgabe 1 :


Ich habe mir 100! und für $$2^n$$ vereinfacht aufgeschrieben d.h.


$$100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 100$$


$$2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32, 2^6 = 64 $$


Dann habe ich mir angeschaut wie viele Zahlen denn die 2 , 4, 8, 16, 32 und 64 teilt. Das sind 50, 25, 12, 6, 3, 1.

Nun habe ich mir gedacht wenn 97 Zahlen geteilt werden sollte $$2^97$$ die 100! ebenfalls teilen. Ein Satz für die Begründung fällt mir nicht ein, aber ich könnte es als Bruch schrieben und im Zähler als auch im Nenner könnte man dann ausschreiben und am Schluss kürzen.



Zu 2:

Also eine Formel für die Summe ungerader Zahlen ist einfach zu erstellen, denn ungerade Zahlen kann man mit $$2n+1$$ oder $$2n-1 $$ ausdrücken. Durch stumpfes summieren der ungeraden Zahlen kam ich dann auf die Formel $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} 2n-1 =n^2$$

Aber auch hierfür habe ich keine Begründung.


Zu 3:


Bei dieser Aufgabe habe ich mein größtes Problem. Denn um die Anzahl an Regionen zu maximieren habe ich mir gedacht es ist sinnvoll das sich maximal 2 Sehnen im gleichen Punkt schneiden. Dann würde ich es wieder erstmal durch probieren machen d.h.

n=1 dann haben wir max. 2 Regionen

n=2 dann haben wir max. 4

n=3 dann haben wir max. 7

n=4 dann haben wir max. 11

n=5 dann haben wir max. 16

Dann weiß ich noch das bei den Regionen immer n addiert wird,

aber mehr als diese Beispiele habe ich bis jetzt nicht.

Mein größtes Problem ist dann bei Aufgabe 1 und 2 die Begründung warum das so ist. Ich würde mich freuen wenn mir jmd. dabei helfen kann.

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1 Antwort

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Hallo

1)1^{97} ist falsch 100! enthalt 100 Faktoren, jeder 2 te davon ist gerade, also 50

 also steckt 50 mal der Faktor 2 in 100! das gibt 2^?

2, schreib die Summe einmal von 1 bis 2n-1

dann darunter in umgekehrter Reihenfolge

addiere die übereinander stehenden Zahlen. das ergibt 1+2n-2, 2+2n-2 usw bis 2n-1+1

 also n mal die Zahl 2n, n*2n=2n^2  aber das ist ja genau 2 mal die Summe.

2 ter Weg ist vollständige Induktion.

zu 3) n ist die Anzahl der Punkte auf dem Kreis, nicht der Sehnen1 Punkt nur 1 Gebiet, 2 Punkte 2 Gebiete, 3 Punkte 4 Gebiete, usw

2 möglich Überlegungen: bei n Punkten. nimm einen beliebigen festen Punkt als ersten und Alle Sehnen, von da aus  teilt in n+1 Teile,  jetzt den benachbarten Punkt mit allenausser em ersten gibt n weitere usw.

 oder denk dir ne Regel aus für n aus und begründe, dass für einen zusätzlichen Punkt n Neue Sehnen dazu kommen die n+1 zusätzliche Teile schaffen. überzeug dich davon mit kleinen Zahlen.

 Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Bei 1) liegst Du voellig daneben. Richtig ist \(97\) wie vorgeschlagen.

Danke Fakename

 Du hast recht ich Idiot hab die 2er Potenzen vergessen. Danke

Gruß lul

überzeug dich davon mit kleinen Zahlen.

Erstens ist das Teil der Aufgabenstellung und zweitens :  warum beherzigst du die Tipps, die du anderen gibst, nicht selbst ?

@Nf :  Versuche, die Formel   N  =  (n^4 - 6n^3 + 23n^2 - 18n + 24) / 24   zu beweisen.

@Fakename

Kann ich bei 1) dann als Begründung schreiben, dass n=97 ist, weil es 97 faktoren gibt die durch 2 geteilt werden können ?


@lul

bei 2) hast du geschrieben ich soll die Summe aufschreiben und darunter die umgekehrt aufschreiben und addieren dann kommen wir auf 2n da das n mal passiert haben wir $$2n^2$$ soweit habe ich das verstanden. Da wir hier 2 mal die Summe genommen haben kommen wir auf $$n^2$$. Das wäre jetzt meiner Meinung nach der mathematische weg um für die Summe auf $$n^2$$ zu kommen. Die Frage ist warum gilt das für alle n? Da blicke ich noch nicht durch.


Zu 3) habe ich das so verstanden. Wir haben 1 punkt (n=1) auf dem Kreis und durch den können wir k Sehnen ziehen und erhalten k+1 Regionen. Bei zweiten Punkt (n=2) habe ich dann Probleme, denn  zu den k+1 Regionen kommen neue Regionen dazu. Ich hab das mit der Sehnen anzahl 1-3 getestet (also Sehnen pro Punkt ) aber ich sehe keinen Zusammenhang.


@Gast hj2166 bezieht sich die Formel auf die Aufgabe 3? Damit kann ich im Moment jedoch auch nicht viel anfangen. Ich hab echt Probleme das was ich tue zu Begründen.

Kann ich bei 1) dann als Begründung schreiben, dass n=97 ist, weil es 97 faktoren gibt die durch 2 geteilt werden können ?

Du kannst schreiben, dass der Primfaktor 2 genau 97 Mal in 100! vorkommt, weil [ausfuehrliche Begruendung].

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