Berechnen Sie
lim (\( \frac{1}{x} \) - \( \frac{1}{e^x - 1} \))
x-> 0
Mein Vorschlag:
Zu Beginn den Wert gegen den x verläuft in die Funktion einsetzen.
= (\( \frac{1}{0} \) - \( \frac{1}{e^0 - 1} \)) = Unendlich - Unendlich
ab hier Gesetz L'Hospital anwenden?
Der "Trick" besteht darin , zuerst den Hauptnenner zu bilden.
Danach wendest Du L'Hospital an .(Möglicherweise mehrfach)
Ergebnis: 1/2
lim = \( \frac{e^x -1 -x}{x-e^x - 1} \)
x->0
So etwa?
Im Nenner muss ein Produkt stehen: x*(e^x-1) --> Produktregel anwenden!
= lim(x->0) ( e^x -1 -x) /( x(e^x-1))
lim e^0-1-0/0*(e^0-1)= 0/0
lim e^x-1/e^x - 1 (1+x) = 0/0
lim e^x/e^x-1*(1+x)= 1/1-1+0= 1/0
???
der weitere Weg:
wie kommst Du auf 1/x+2?
Durch Anwendung der Produktregel beim Nenner:
y=e^{x+2}
u =e^x ; v=x+2
u' =e^x ; v'= 1
allgemein:
y' =u'v +u*v'
y' =e^x (x+2) *e^x*1
y' =e^x (x+2) *e^x
y' =e^x (x+2)
Hätte man sich nicht den letzten Rechenschritt ersparen können und die 0 in den vorletzten Rechenschritt einsetzen können? Da käme auch 1/2 raus.(beziehe mich auf dein Bild)
ja das geht auch
Hauptnenner bilden, dann L'Hospital anwenden.
lim = \( \frac{e^x -1 -x}{x-e^{x} - 1} \)x->0So etwa?
Ein anderes Problem?
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