Abstand berechnen: Ebene von Gerade & Ebene von Ebene

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie den Abstand der Ebene E von der Geraden g (gegebenenfalls 2 Nachkommastellen- nur wenn es sich nicht exakt berechnen lässt):

E:2x₁+4x₂-x₃=2

g:x=(1/2/3)+r*(1/1/6)

b) Bestimmen Sie den Abstand der Ebene E von der Ebene F(2 Nachkommastellen):

E:3x₁-x₂+2x₃=-1

F:-3x₁+x₂-2x₃=6

Mein Problem:

ich habe die Aufgaben schon berechnet, aber ich bin mir da noch nicht so ganz sicher, weil ich es noch nicht gut verstehe, könnte deswegen jemand mal bitte schauen ob die Ergebnisse korrekt sind?

Mein Ansatz:

a) hier habe ich den Punkt P(1/2/3) auf der Geraden g genommen und den Abstand zu E berechnet und das kam bei mir raus: d(P;E)= -8/√21=~-1,75 (~ für ungenau)

b) hier habe ich die Hesse-Normalform bestimmt von E mit den Normalenvektor n=(3/-1/2) und dann den Punkt Q(0/6/0) auf F in die Hesse-Normalform eingesetzt und habe das raus: d(E;F)= |-5/√14|=~-1,34

Comments

Bei a) habe ich 1,0911. Zeig mal deine Rechnung.

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Hier ist mein Rechenweg zur a):

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Könntest du mal den Zähler (oben) erläutern?

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hier habe ich den Punkt P(1/2/3) auf der Geraden g genommen und die Vorzeichen geändert. Und die 2 ist b von der Koordinatenform von E das muss dann doch von dem Punkt abgezogen werden deswegen -2.

Ich habe den Rechenweg von dieser Internetseite:

https://www.abiturma.de/mathe-lernen/geometrie/abstand/abstand-gerade-ebene

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Da hast du den Rechenweg des dort angegeben Beispiels falsch übertragen. Richtig wäre es etwa so: $$d\left(P,E\right) = \dfrac{\begin{pmatrix} 2\\4\\-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}-2}{\left|\begin{pmatrix} 2\\4\\-1 \end{pmatrix}\right|} = \dfrac{5}{\sqrt{21}}$$

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Okay ich hab meinen Fehler gefunden, also

Um nochmal klar zu stellen die Lösungen lauten:

a) 1,09

b) -1,34

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Na ja, negative Abstände gibt es nicht und b) habe ich mir nicht weiter angeschaut.

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So, ich habe mir b) noch angeschaut und komme auf \(5/\sqrt{14}\).

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!!

Answer 1

a)

E: 2·x + 4·y - z = 2

d = (2·x + 4·y - z - 2) / √(2^2 + 4^2 + 1^2)

d = (2·(1) + 4·(2) - (3) - 2) / √(2^2 + 4^2 + 1^2) = 5/21·√21 = 1.091089451

b)

E: 3x1-x2+2x3=-1

F: 3x1-x2+2x3=-6

(-1 - (-6)) / √(3^2 + 1^2 + 2^2) = 5/14·√14 = 1.336306209

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Vielen Dank!!!