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Aufgabe:

Ich würde gerne wissen was für g= (1 3)(2 4 5) das Produkt g^2 ist?


Problem/Ansatz:

g^2=(1 3)^2 x (2 4 5)^2 = id x (2 4 5)^2

So weit hab ich es verstanden. In der Lösung steht jetzt, weil (2 4 5)  ordnung 2 hat, ist (2 4 5)^2= (2 4 5)^(-1).

Die Schlussweise verstehe ich nicht, kann mir jemand das Schritt für Schritt erklären?

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In der Lösung sollte Ordnung 3 stehen, denn ein Zykel der Länge n hat Ordnung n.

n=2: (x y)^2 =(x y)(x y)=id

n=3: (x y z)^3 = (x y z)(x y z)^2 = (x y z)(x z y)=id

usw. kann man sich mal allgemein überlegen warum das so ist...

Jetzt nehmen wir einen Zykel der Länge n \( (a_1~\cdots~a_n)\) und erhalten

$$(a_1~\cdots~a_n)(a_1~\cdots~a_n)^{n-1}=(a_1~\cdots~a_n)^n = id$$

D.h. das inverse unseres Zykels ist

$$ (a_1~\cdots~a_n)^{-1} =(a_1~\cdots~a_n)^{n-1} $$

Für n = 3 gilt dementsprechend

$$(x~y~z)^2 = (x~y~z)^{-1} = (x~z~y)  $$

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