In den Spalten der Matrix stehen die Koeffizienten zur
Darstellung der Bilder der Basisvektoren. Wenn sie also diese
Form hat und v1 , v2 sind die Basisvektoren dann gilt
f(v1) = a*v1 + 0*v2 = a*v1
f(v2) = b*v1 + d*v2
Betrachte nun den von v1 aufgespannten Unterraum L ,
der ist eindimensional, da v1 ein Basisvektor von V, also
ungleich 0 ist. Und er besteht aus allen Vielfachen von v1,
also allen x*v1 mit x∈K.
Und für alle gilt f(x*v1) = a*(x*v1) = (a*x)*v1 also
ist immer f(x*v1) ∈ L und damit f(L) ⊆ L . Das war ==>
zu <== : Wenn es andererseits so ein L gibt, dann wähle
eine Basis von L, die besteht (1-dim ! ) aus einem v1, das
du zu einer Basis von V ergänzen kannst.
Und f(v1) ∈ L, also f(v1) = a*v1 und damit ist die erste
Spalte der Matrix
a
0
q.e.d.