Basiswechselmatrix aufstellen

Question

ich soll eine Basiswechselmatrix von der Standardbasis in die Basis B = { \( \begin{pmatrix} 2\\4\\8 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 4\\6\\3 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 8\\2\\1 \end{pmatrix} \) } aufstellen.

Ich habe ein bisschen recherchiert und bin dabei darauf gestoßen, dass ich die Basis B neben die Einheitsmatrix schreibe und die Basis B so umforme, dass Sie die Form der Einheitsmatrix hat. Die links erzeugte Matrix ist dann meine Basiswechseltransformationsmatrix. Ist das richtig?

Answer 1

ja, aber, Du beschreibst die Inverse. Der Hintergrund dazu:

Die Vektoren einer Basis spaltenweise in eine Matrix gestellt, beschreiben einen Basiswechsel von B in die Standardbasis E:  eTb Matrix

eTb  ==> eTb^-1 = bTe

ist eine Basiswechselmatrix von E nach B. Jetzt kommen wir zusammen und stellen fest, die Inverse von eTb (Basiswechsel von b nach e) ist bTe = eTb^-1 (Basiswechsel von e nach b)

Comments

Vielen Dank für die Rückmeldung! 

Nochmal kurz zusammengefasst und um sicherzugehen. Ich suche also die Matrix A (bzw. deren inverse), die folgendes bezweckt? 

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) * A = \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 4 & 6 & 2 \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} \)

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\(A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 4 & 6 & 2 \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix}\)

Du suchst A^-1 mit

A A^-1 = \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

Das Ergebnis ist die Einheitsmatrix

und  A * Einheitsmatrix = A

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Ok super, die Matrix A^-1 habe ich bestimmt, diese lautet:

\( \begin{pmatrix} 0 & -1/12 & 1/6 \\ -1/20 & 31/120 & -7/60 \\ 3/20 & -13/120 & 1/60 \end{pmatrix} \)


Dann muss ich nun nur noch die Inverse davon bestimmen, das bekomme ich hin. Vielen Dank!