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Seien zwei Matrizen:

        
A =   11    5    71              B =   2    -16     4

        -1    97    37                     -1     8       97

gegeben. Bestimmen Sie die Dimensionen der Kerne und Bilder der Matrizen A und B.

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Hallo Benny,

Der Kern einer Matrix \(A\) ist die Menge aller Vektoren \(v\) für die \(A \cdot v=0\) ist. Setze einfach ein: $$\begin{pmatrix} 11 & 5 & 71 \\ -1 & 97 & 37\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0$$ aus der zweiten Zeile folgt $$x = 97y + 37z$$ und einsetzen in die erste Zeile gibt $$\begin{aligned} 11(97y + 37z) + 5y + 71 z &= 0 \\ 1067y + 407 z + 5y + 71 z &= 0 \\ 1072y + 478z &= 0 \\ y &= -\frac{239}{536} z \end{aligned}$$ Setze \(t=z/536\), dann ist $$\begin{aligned} y &= -239 t \\ x &= -97 \cdot 239t + 37 \cdot 536t = -3351t \end{aligned}$$ Folglich ist der Kern der Matrix \(A\) $$\text{Kern}(A) = \begin{pmatrix} -3351 \\ -239 \\ 536 \end{pmatrix} t \quad t \in \mathbb{R}$$ Und die Dimension des Kerns ist 1, da es sich um eine Gerade handelt.

Das Bild von \(A\) ist die Menge aller Vektoren, die aus der Multiplikation von \(A\) mit einem beliebigen Vektor resultieren. Da zwei Spaltenvektoren von \(A\) linear unabhängig sind, ist dies $$\text{Bild}(A) = u \quad u \in \mathbb{R}^2$$ Die Dimension des Bildes ist demzufolge \(=2\).

Zur Bestimmung der Dimension brauchst Du obige Rechnung nicht durchzuführen. Es reicht aus, zu zeigen, dass mindestens 1 Paar der Spaltenvektoren linear unabhängig ist, bzw. es ist ausreichend den Rang der Matrix zu berechnen.

Mit der Matrix \(B\) wäre die Rechnung und auch die Dimension dieselbe. Wenn Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

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Wie kommst darauf auf das Bild von A bzw. dessen Dimension? In A sind doch drei Spaltenvektoren linear unabhängig, nicht nur zwei.

In A sind doch drei Spaltenvektoren linear unabhängig, nicht nur zwei.

\(A\) ist eine \(2 \times 3\) Matrix. D.h. dass das Ergebnis einer Multiplikation mit dieser Matrix sich zwangsläufig im \(\mathbb{R}^2\) (oder einem Unterraum) befinden muss. Mehr als zwei Koordinaten kommen nicht heraus.

Somit können auch drei Vektoren im \(\mathbb{R}^2\) nie linear unabhängig sein. In diesem Fall ist es konkret so, dass $$\begin{pmatrix} 11\\-1  \end{pmatrix} \cdot \frac{3351}{536} + \begin{pmatrix} 5\\ 97 \end{pmatrix} \cdot \frac{239}{536} = \begin{pmatrix} 71\\ 37 \end{pmatrix}$$ also der dritte Spaltenvektor kann als eine Linearkombination der beiden ersten dargestellt werden.

\(A\) liefert als Ergebnis immer eine 2-dimensionalen Vektor.

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