Soll \(\text{Kern}(A) = \text{span}(\vec{p})\) und \(\text{Bild}(A) = \text{span}(\vec{q}, \vec{r})\) gelten, dann kann man folgendes Gleichungssystem aufstellen:
(1) \(A\cdot \vec{p} = \vec{0}\)
(2) \(A\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \vec{q}\)
(3) \(A\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = \vec{r}\)
Allerdings nur dann, wenn \(\left\{\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, \;\begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}, \;\vec{p}\right\}\) eine Basis des Vektorraumes ist. Falls nicht, dann kannst du \(\left\{\vec{p}\right\}\) zu einer Basis ergänzen und diese Vektoren in (1) und (2) verwenden.