Konvergenz einer nicht monotonen rekursiven Folge?

Question

Aufgabe:

Seien x₁ > 0 und x_n+1 = 1 / (1+x_n ) . Existiert lim x_n bestimme gegebenfalls den GW.

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Meine Vermutung wäre, dass der GW existiert da ja beide Teilfolgen der geraden und undgeraden Folgenglieder immer näher aneinander rücken. Wenn ich davon ausgehe, dass der GW existiert lässt sich dieser natürlich auch schnell mit dem Teilfolgenargument berechnen, allerdings finde ich einfach keinen Weg zu zeigen, dass die Folge konvergiert. Da die Folge nicht monoton ist fällt dieses Kriterium ja leider weg. Ich hatte jetzt die Idee über die monotonie zu zeigen, dass diese beiden Teilfolgen konvergieren und dann noch zu zeigen, dass sie den gleichen GW haben müssen aber das hat jetzt auch nicht wirklich irgendwo hin geführt :/

Answer 1

das ist doch die Rekursion der Fixpunktfolge der Fixpunkt Gleichung

x=1/(1+x)=phi(x)

Da phi(x) eine Kontraktion ist, konvergiert das Verfahren nach dem banachschen Fixpunktsatz.

Den Grenzwert kannst du leicht nach der Gleichung

x=1/(1+x) bestimmen.

PS: Hattet ihr den Banachschen Fixpunktsatz schon in der Vorlesung? Ansonsten kannst du den Ansatz nicht verwenden.

Comments

Diesten Satz haben wir leider noch nicht gemacht :/

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Ok, dann folge deiner urpsprünglichen Idee:

Betrachte die Folge der geraden bzw. ungeraden Indizes.

Bsp gerade Indizes: x_(n+2)=1-1/(x_(n) +2)

Zeige, dass diese Folge monoton und beschränkt verläuft.

Tipp: Die Monotonie ist abhängig vom ersten Glied. Wenn das Startglied x_1 kleiner dem Grenzwert x (den man leicht berechnen kann) ist, dann verläuft die Folge der ungeraden Indizes monoton steigend, die der geraden Indizes monoton fallend. Wenn x_1>x ist, ist es genau andersherum.

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ok hab ich gemacht :)

Jetzt müsste ich ja noch zeigen, dass die beiden teilfolgen jeweils gegen (√5-1)/2 konvergieren, bzw., dass beide teilfolgen gegen den gleichen Grenzwert konvergieren. Dazu hätte ich versucht die gleichung mit lim(x_2n+1 / x_2n) = 1 aufzulösen aber das führt nicht wirklich da hin wo ich hin will O.o

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Nenne den Grenzwert der Folge der geraden Indizes x_g

Dann gilt im Grenzwertfall  gemäß meiner obigen Gleichung

x_g=1-1/(x_g+2)|*(x_g +2)

(x_g +2)x_g=x_g +1

x_g^2+x_g-1=0 → x_g=(sqrt(5)-1)/2, da alle Folgenglieder positiv sind.

Das machst du auch noch für den ungeraden Fall, → x_ug =x_g

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omg natürlich >.< danke!

Auf den letzten Schritt hätte ich auch selber kommen können ....

Answer 2

Die Rekursionsfolge ist Darstellung eines Kettenbruches, der  wiederum (√5-1)/2 ausdrückt.

Comments

Naja, dass wusste ich auch schon. Nimmt man an, dass die Folge konvergiert kommt man ja recht schnell auf diesen Ausdruck aber inwiefern hilft mir das die Konvergenz zu beweisen? Vielleicht bin ich gerade auch sehr Ignorant da ich noch nie mit Kettenbrüchen gearbeitet habe aber so ganz ersichtlich ist mir das ganze noch nicht :/

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Auf die Kettenbruchdarstellung kommt man auch ohne die Annahme der Konvergenz.

Periodische Kettenbrüche sind Darstellungen irrationaler Zahlen.

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Achsoooooo. Das bedeutet aus der Tatsache, dass die Folge ein Kettenbruch ist folgt bereichts, dass die Folge in eine irrationale Zahl konvergiert?

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Das bedeutet: aus der Tatsache, dass die die explizite Darstellung von x_n ein periodischer Kettenbruch ist, folgt bereits, dass die Folge in eine irrationale Zahl konvergiert (Euler).