Ist die Herleitung einer Gesamtfunktion aus dem Differential eines Integrals möglich?

Question

folgende 2 Teilfunktionen, die den Sinus bis pi/2 ersetzen sollen sind bekannt:

http://www.wichmann.dashosting.de/mathematische%20Basteleien/Sinusfunktion.html

des weiteren ist die Gesamtfläche des Sinus bis pi/2 bekannt: A_ges, sowie der Schwerpunkt dieser Fläche

y_{s gesamt}

A_ges=A₁+A₂, y_{s gesamt}=(y₁*A₁+y₂*A₂)/(A₁+A₂), diese Summanden, Faktoren, Gleichungen sind alle bekannt, y₁ und y₂ sind die Schwerpunktsgleichungen für die Teilflächen

zugleich ergibt sich der Schwerpunkt der Gesamtfläche bis pi/2 zugleich aus:

y_s=1/A_ges* Integral von 0 bis pi/2 (x*y*f'(x)) dx, ist es jetzt möglich durch eine Differentiation von y_s, dessen beiden Gleichungen gleichgesetzt wurden, y bzw. f'(x) zu ermitteln, als Gesamtgleichung für den gesamten Sinus bis pi/2? Wie gesagt, mich interessiert das y bzw. f'(x)=y' im Integral! Ist dies möglich?

Dankeschön für die Antworten, auch wenn dies eine Anfängerfrage sein mag, mir fällt halt alles schwer, ich bitte um Nachsicht und möchte mir unnötige Rechnerei ersparen....!

Answer 1

Hallo

auf der zitierten Seite wird offensichtlich eine rationale Funktion als gute stückweise Näherung des sin angegeben, aber es ist natürlich nicht die sin Funktion selbst sonder eine Näherung dazu. Es gibt wirklich keine rationale endliche Funktion, die den sin auf einem ganzen Intervall ersetzt, sobald du etwa deine plots stark stückweise vergrößerst siehst du das auch.

wirklich verstanden, was du mit dem Schwerpunkt willst habe ich nicht, aber ob deine Idee eine gute Näherung ergibt, kann man ja einfach ausprobieren?

Allerdings: du hast lauter bestimmte Integrale, ihr Ergebnis sind Zahlen, die Ableitung ist 0, was du also differenzieren willst weiss ich nicht.

Gruß lul

Comments

zur Genauigkeit der von mir ermittelten arcsinx-Funktion:

https://www.mathelounge.de/590102/darstellung-arcsin-durch-polynom-trigonometrischer-Ansatz

ich hatte bereits geschrieben, daß ich alles, Dezimalstellen, nicht besonders genau genommen habe......, dies wird also nicht nur eine Näherung sein......

ich habe die Funktionsgleichungen für (y₁A₁)' und (y₂A₂)' ermittelt und dann den  gemeinsamen Divisor A₁+A₂ (....=1) ebenfalls ermittelt

die Flächenwerte sind Funktionswerte und die ermittelten y' sind damit Gleichungen..., die ja von mir in den beiden Abschnitten ermittelt wurden, die differenzierbar sind, denn (y_gesamt)'=y*y'*x

vielleicht ist es einfacher, wenn ich mit x als Schwerpunkt rechne

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Hallo

 die meisten der Werte von sin(x) sind transzendent, d.h, man kann sie nicht durch Potenzen und oder Wurzeln darstellen. Natürlich kann man Polynom oder rationale Funktionen oder Wurzeln daraus finden, die die sin Werte in einem gewissen Bereich bis auf 2, oder 3 oder 10 Stellen hinter dem Komma richtig berechnen, darauf beruhen die Werte von sin in Programmen und TR .

Deine Herleitung in dem alten post und in deinem paper, das du zitierst, verstehe ich nicht. Du weisst aber, dass es die einfachen Taylorpolynome für sin(x) und cos(x) gibt, die die Funktion zwischen 0 und pi/2 besser annähern als deine?

lass dir mal die Polynom p1=x-x^3/6, p2=x-x^3/6+x^5/120 und p3=x-x^3/6+x^5/120-x^7/5040 plotten und dazu sin(x)

 bei normalen Graphik siehst du nichts erst wenn du immer weiter Ausschnitte vergrößerst sieht man langsam Unterschiede

Gruß lul

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Warum, dann bitte, ist die Ableitung des arcsinx ein Polynom? Auf dieser Feststellung basiert ja mein gesamtes Bemühen, den Sinus zu ersetzen. Ich glaube schon und habe immer daran "geglaubt", daß es diese Möglichkeit gibt.  
Die aufgeführten Abweichungen hatte ich ja bereits erklärt! Ich denke schon, daß bei genauem Rechnen sich eine Deckungsgleichheit ergibt! Dies alles und die fast genaue Konformität der Gleichungsergebnisse, mathematisch und graphisch, können kein Zufall sein! , Bert Wichmann!

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Hallo

 dass die Ableitung eine Wurzelfunktion ist, sagt nichts über die Funktion.  die sin fkt selbst hat ja die viel schönere Dgl y''=-y

gegen das Argument, dass die Werte meist transzendent sind hast du nicht argumentiert, jede transzendente zahl lässt sich durch einen Dezimalbruch natürlich bis auf beliebig viele Stellen approximieren, aber nie genau bestimmen. Deine fkt hat einen kleineren Bereich, indem sie gut übereinstimmt als meine einfachen Polynom. Hast du die mal geplottet?

Wenn du deine Konstanten richtig ausrechnen könntest wären das wahrscheinlich auch transzendente Zahlen, die du durch keinen Dezimalbruch exakt darstellen kannst.

warum der Schwerpunkt einer Fläche unter sin  keine feste Koordinate, also Zahl ist, verstehe ich auch nicht. schreib doch mal bitte das Integral explizit hin, das du differenzieren willst.  $$F(x)=\int_a^xf(t)dt,=> F'(x)=f(x)$$

Gruß lul

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A₁+A₂=1

y_i=Gleichungen, von mir ermittelt, der Teilflächen mit:

y₁*A₁+y₂*A₂=Integral xyy'dx=Integral xydy, daraus folgt:

1/x*(y₁A₁+y₂A₂)'=yy', daraus folgt: Integral 1/x*(y₁A₁+y₂A₂)dx=1/2y^2, und jetzt y berechnen, die Gesamtfunktion des Sinus!

ich glaube auch, es ist besser mit ein zutreffenden Zahl, die zwar nicht alle Dezimalstellen beinhaltet zu rechnen, als mit einer Näherungslösung, oder, das meintest Du doch mit Transzendenz

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Hallo

 ich verstehe schon nicht das Integral für den Schwerpunkt

y1*A1+y2*A2=Integral xyy'dx, Welche Grenzen stehen denn an dem Integral?  wie kommst du auf xyy' im Integral?  soll das die x oder y- Komponente des Schwerpunkts sein?

 weiter oben stehen die Grenzen 0 und pi/2, dann ist das eine Zahl!   und man kann sicher nicht differenzieren bzw. die Ableitung ist 0.  Du hast es hier doch nicht mit einer Funktion zu tun? der Schwerpunkt einer Fläche ist doch ein  fester Punkt (xs,ys) weiter oben lese ich nach "Flächenwerte sind Funktionswerte"  die Fläche unter sind zwischen 0 und 1 ist A1=1-cos(1)=0,45969769413186, entsprechend zwischen 1 und pi/2 A2=0,54...... zusammen A1+A2=1 das sind Zahlen, die natürlich auch Funktionswerte der Flächenfunktion sind, aber keine Funktionen, die man differenzieren kann.

deine letzte Bemerkung :"ich glaube auch, es ist besser mit ein zutreffenden Zahl, die zwar nicht alle Dezimalstellen beinhaltet zu rechnen, als mit einer Näherungslösung, oder, das meintest Du doch mit Transzendenz." verstehe ich gar nicht. Was ist eine zutreffende Zahl? transzendent sind Zahlen die keine Brüche sind und auch nicht als irgendwelche Wurzeln beschrieben werden können, Beispiele sind die Zahl pi oder e oder sin(1) , das meinte ich damit, dass du die sin funktion SICHER nicht mit deiner Funktion, bei der man nur Wurzeln ausrechnen muss wirklich ersetzen kannst, sondern nur approximieren, da sehen in der Zeichnung deine funktion gut aus, aber meine, die du nicht kommentiert hast eher noch besser, wenigstens p3.

Auf meine Argumente gehst du irgendwie nicht ein. ich werde wohl wenn es so weitergeht nicht mehr antworten.

Gruß lul

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Wir reden, schreiben aneinander vorbei.....! Trotzdem ein Dankeschön für die Kritik! , Bert Wichmann!

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schade!

Gruß lul