Verlauf des Graphen von f(x)=x·e^{-x^2} skizzieren, wie?

Question

Aufgabe:

ich möchte mich für eine bevorstehende Analysis Klausur vorbereiten, merke jedoch, dass ich einiges nachzuholen habe. Ich bleibe bereits bei folgender Aufgabe stecken:

Ich soll den Verlauf des Graphen der Funktion f(x)=x·e^{-x^2} skizzieren, sodass alle wichtigen Eigenschaften erkennbar sind. Wie kommt man auf den Verlauf? Und woher erkennt man die wichtigen Eigenschaften?

Ich danke vielmals im Voraus und hoffe, dass ihr mir das erklären könnt

Answer 1

du kannst dir z.B. eine Wertetabelle erstellen, wo du dann zu jedem x-Wert den zugehörigen Funktionswert erhältst.

Mit wichtigsten Eigenschaften sind z.B. Extrema / Nullstellen gemeint.

Comments

Und wie müsste man vorgehen, wenn man keinen Taschenrechner zur Verfügung hat?

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Extrema berechnen wäre halt, dass man die 1. Ableitung null setzt und mit der 2. auf die hinreichende Bedingung nachprüft.

Für die Nullstelle(n) müsstest du die Funktion nullsetzen, wobei hier nur die triviale Lösung x=0 in Frage käme.

Und für das Skizzieren ist es sicherlich von Nutzen, wenn man weiß, dass \(n^{-x}=\dfrac{1}{n^x}\) ist.

Also \(xe^{-x^2}=x\dfrac{1}{e^{x^2}}\).

Bei dieser Aufgabe fände ich es händisch aber ziemlich unsinnig.

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Vielen Dank für die Antwort. Da es sich bei dieser Ausgabe um eine Aufgabe des Pflichtteils handelt, stehen keine Hilfsmittel zur Verfügung. Wie muss man dann vorgehen?

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Hm okay, also für den globalen Verlauf gilt \(\lim\limits_{x\to \pm\infty}f(x)=0\). 
Außerdem muss die Funktion für \(x>0\) oberhalb, und für \(x<0\) unterhalb der x-Achse liegen.

Ferner weißt du, dass die Funktion bei x=0 eine Nullstelle besitzt. Durch zweifaches Ableiten weißt du, dass es bei x=\(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) ein globales Minimum und bei x= \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) ein glob. Maximum gibt.

Des weiteren ist der Abstand zwischen f(x) und der x-Achse kaum unterscheidbar ab dem Funktionswert 0 ab \(\pm x=2\) dran. Es gilt \(\dfrac{2}{e^{(\pm x)^2}}=\pm \dfrac{2}{e^4}\approx 0.04\).

Answer 2

Man kann, ohne jede Rechnung, am Funktionsterm bereits folgendes ablesen: 

(1) Die Funktion f ist auf ganz R definierbar und beliebig oft differenzierbar, ihr Graph ist also ziemlich glatt, insbesondere ohne Sprünge, Löcher oder Ecken.

(2) Sie ist als Produkt einer ungeraden und einer geraden Funktion ungerade, ihr Graph ist also symmetrisch zum Ursprung, der auch ihr Wendepunkt ist.

(3) Der Graph von f verläuft im Unendlichen asymptotisch zur x-Achse und liegt im dritten und im ersten Quadranten.

Nimmt man noch an, dass f sonst keine überraschenden Eigenschaften von Bedeutung aufweist, bekommt man mit den aufgezählten Eigenschaften schon eine hübsche Skizze hin.

Man kann nun noch die beiden einzigen Extremstellen als die beiden Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen und weiß nun eigentlich schon mehr, als was für eine gute Skizze benötigt wird.