Das Zeichen "⇔" bedeutet "ist äquivalent zu" und wird dazu verwendet, Aussagen zu verknüpfen.
R* <=>
Das ergibt keinen Sinn, weil R* keine Aussage ist.
Verwende stattdessen natürliche Sprache für den Beweis:
Laut Definition von R* ist R ⊂ R*. Um R* = R zu zeigen, genügt es also, R*⊂R zu zeigen.
Sei R reflexiv und transitiv. Sei (p,q) ∈ R*.
Fall 1: p = q. Dann ist (p,q) ∈ R, weil R reflexiv ist.
Fall 2: p ≠ q.
Fall 2.1: Es gibt ein r, so dass (p,r) ∈ R und (r,q) ∈ R. Dann ist (p,q) ∈ R, weil R transitiv ist.
Fall 2.2: Es gibt kein r, so dass (p,r) ∈ R und (r,q) ∈ R.
Fall 2.2.1: (p,q) ∈ R. Dann ist (p,q) ∈ R.
Fall 2.2.2: (p,q) ∉ R. Begründe, dass das ein Widerspruch zur Definition von R* darstellt, weil dann R*\{(p,q)} ebenfalls reflexiv und transitiv ist.