Aufgabe:
Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem
ax + by = 0
cx + dy = 0
genau dann eine Lösung (x, y) ≠ (0, 0) hat, wenn ad - bc = 0 ist.
Problem/Ansatz:
Wie kann man das am besten zeigen?
Das Gleichungssystem muesste ja unendlich viel Lösungen haben.
Hast du das exakt abgeschrieben?
Sehe ich auch so. Die Lösung (x, y) = (0, 0) ist zwingend vorhanden. Die zusätzliche Lösung (x, y) ≠ (0, 0) eine weitere. Beide Punkte verbinden: Alle Punkte auf der Verbindungsgeraden sind auch Lösungen. (Ist natürlich an dieser Stelle noch kein Beweis).
Bei linearen Gleichungssystemen gibt es im
Prinzip immer drei Fälle:
genau eine Lösung
gar keine Lösung
unendlich viele Lösungen
Hier kann Fall2 nicht auftreten, da homogenes System, hat immer
die Lösung (0;0).
Also ist hier: Eine von (0;0) verschiedene
Lösung ist genau dann vorhanden, wenn es unendlich viele gibt.
Ja hab ich genau so abgeschrieben! Ganz verstehen ich es noch nicht wie ich das zeigen soll^^
ax + by = 0 | * (-c)cx + dy = 0 | * a
------------------------
-acx - bcy = 0 acx +ady = 0 beide addieren
bcy - ady = 0
(-bc+ad) * y = 0
Wenn die Klammer 0 ist gibt es
für y Lösungen ungleich 0.
Entsprechend für x wenn du anfangs d
und -b multiplizierst.
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