$$ \int\limits_{0}^{2π} \int\limits_{0}^{R} (-2r^{3}sin^{2}(Θ))(r^{2}cos^{2}(Θ)-r^{2}sin^{2}(Θ)) drdΘ$$
Erst mal die 2. Klammer betrachten :
$$ r^{2}cos^{2}(Θ)-r^{2}sin^{2}(Θ)$$
$$= r^{2}(cos^{2}(Θ)-sin^{2}(Θ))$$
$$= r^{2}(2cos^{2}(Θ)-1)$$
Also hat man:
$$ \int\limits_{0}^{2π} \int\limits_{0}^{R} (-2r^{3}sin^{2}(Θ)) r^{2}(2cos^{2}(Θ)-1) drdΘ$$
$$ =\int\limits_{0}^{2π} \int\limits_{0}^{R} (-2r^{5}sin^{2}(Θ))(2cos^{2}(Θ)-1) drdΘ$$
und das innere Integral ist dann ja einfach und es bleibt:
$$ =\int\limits_{0}^{2π} \frac{ -R^{6}sin^{2}(Θ)(2cos^{2}(Θ)-1)}{3} dΘ $$
$$ =\frac{ -R^{6}}{3} \int\limits_{0}^{2π} sin^{2}(Θ)(2cos^{2}(Θ)-1) dΘ $$
Und jetzt kommt es ja drauf an, was du so
benutzen darfst Wenn du z.B. ein Ergebnis
für das Integral über sin^2(x)cos^2(x) schon kennst, ist es ja nicht mehr
so wild.