$$ \int\limits_{0}^{2π} \int\limits_{0}^{R} (-2r^{3}sin^{2}(Θ))(r^{2}cos^{2}(Θ)-r^{2}sin^{2}(Θ)) drdΘ$$
Erst mal die 2. Klammer betrachten :
$$ r^{2}cos^{2}(Θ)-r^{2}sin^{2}(Θ)$$
$$= r^{2}(cos^{2}(Θ)-sin^{2}(Θ))$$
$$= r^{2}(2cos^{2}(Θ)-1)$$
Also hat man:
$$ \int\limits_{0}^{2π} \int\limits_{0}^{R} (-2r^{3}sin^{2}(Θ)) r^{2}(2cos^{2}(Θ)-1) drdΘ$$
$$ =\int\limits_{0}^{2π} \int\limits_{0}^{R} (-2r^{5}sin^{2}(Θ))(2cos^{2}(Θ)-1) drdΘ$$
und das innere Integral ist dann ja einfach und es bleibt:
$$ =\int\limits_{0}^{2π} \frac{ -R^{6}sin^{2}(Θ)(2cos^{2}(Θ)-1)}{3} dΘ $$
$$ =\frac{ -R^{6}}{3} \int\limits_{0}^{2π} sin^{2}(Θ)(2cos^{2}(Θ)-1) dΘ $$
Und jetzt kommt es ja drauf an, was du so
benutzen darfst Wenn du z.B. ein Ergebnis
für das Integral über sin2(x)cos2(x) schon kennst, ist es ja nicht mehr
so wild.