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Hi 

ich muss eine Oberfläche integrieren und kam auf 
\( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \int\limits_{0}^{R} \) (-2r3sin2(Θ))(r2cos2(Θ)-r2sin2(Θ)) drdΘ
kann mir jemand bei der Vereinfachung helfen ? und mir sagen wie er vorging ? sicher kann man noch vereinfachen und nicht jetzt integrieren aber ich komme nicht drauf !

Dankeee

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Du kannst das Integral durch ausklammern von \( r \) so zerlegen, dass die Intergrationen nach \( r \) und \( \Theta \) undabhängig ausgeführt werden können. Dann noch ein paar trigonometrische Formeln anwenden und Du bekommst als Ergebnis $$ \frac{\pi}{6} R^6 $$

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$$ \int\limits_{0}^{2π}  \int\limits_{0}^{R}  (-2r^{3}sin^{2}(Θ))(r^{2}cos^{2}(Θ)-r^{2}sin^{2}(Θ)) drdΘ$$

Erst mal die 2. Klammer betrachten  :

$$ r^{2}cos^{2}(Θ)-r^{2}sin^{2}(Θ)$$

$$=  r^{2}(cos^{2}(Θ)-sin^{2}(Θ))$$

$$=  r^{2}(2cos^{2}(Θ)-1)$$

Also hat man:

$$ \int\limits_{0}^{2π}  \int\limits_{0}^{R}  (-2r^{3}sin^{2}(Θ)) r^{2}(2cos^{2}(Θ)-1) drdΘ$$

$$ =\int\limits_{0}^{2π}  \int\limits_{0}^{R}  (-2r^{5}sin^{2}(Θ))(2cos^{2}(Θ)-1) drdΘ$$

und das innere Integral ist dann ja einfach und es bleibt:

$$ =\int\limits_{0}^{2π}  \frac{ -R^{6}sin^{2}(Θ)(2cos^{2}(Θ)-1)}{3} dΘ  $$

$$ =\frac{ -R^{6}}{3} \int\limits_{0}^{2π}  sin^{2}(Θ)(2cos^{2}(Θ)-1) dΘ  $$

Und jetzt kommt es ja drauf an, was du so

benutzen darfst  Wenn du z.B. ein Ergebnis

für das Integral über sin2(x)cos2(x) schon kennst, ist es ja nicht mehr

so wild.

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