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Aufgabe:

Die Tangenten an die Graphen von f-2(x) bzw. f2(x) im Punkt (1/0) bilden mit der Geraden die durch die Hochpunkte der graphen von f-2(x) und f2(x) verläuft ein Dreieck.

Bestimmen sie die Gleichungen der Tangenten und ermitteln sie den Flächeninhalt des Dreiecks.


fa(x)= (a-ln(x))*ln(x)


Problem/Ansatz:

Das mit den Tangenten Gleichungen habe ich geschafft. Jedoch weiss ich nicht wie ich die Fläche berechnen kann.

Wäre nett wenn mir jemand zeigen könnte wie es geht.

Danke

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f-2(x)=(-2-lnx)·ln(x).   f-2'(x)=(-2-ln(x))/x  Hochpunkt (1/e|1)

f2(x)=(-2-lnx)·ln(x).     f2'(x)=(-2-ln(x))/x  Hochpunkt (e|1)

Jetzt müssen die Tangenten an beide Graphen gesucht und mit y=1 geschnitten werden. Der Abstand dieser Schnittpunkte ist g und die Höhe des Dreiecks ist 1.

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Ist es nicht das Dreieck zwischen den Tangenten

und der Gerade mit y=1 ?

Ja, hab's korrigiert.

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Die Gleichungen der Tangenten sind

t1:  y=2x-2    t2: y=-2x+2

Die Hochpunkte haben beide den y-Wert 1, also die Gerade dadurch   g: y = 1

Das Dreieck dazwischen ist gleichschenklig und hat als

Basis die Strecke zwischen den Schnittpunkten von    g mit t1 bzw, t2

und die Höhe ist 1.

Diese Schnittpunkte bekommst du durch   2x-2 = 1

                                        <=>   2x= 3

                                        <=>  x = 1,5

und entsprechend bei dem anderen x=0,5.

Also ist die Basis 1 und die Fläche

A = 0,5 * g * h = 0,5 * 1 * 1 = 0,5

siehe auch   ~plot~ (2-ln(x))*ln(x);(-2-ln(x))*ln(x);-2x+2;2x-2;1 ~plot~

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Warum hast du 0,5 genommen und nicht 1,5 beim einsetzen für die Fläche?

Die Grundseite ist die Strecke

ZWISCHEN den Schnittpunkten, also

von 0,5 bis 1,5 und das ist 1.

Die 0,5 ist aus der Formel

A = 0,5*g*h

Ach so, die Höhe ist 1 ( nicht 2 ).

Das korrigiere ich noch.

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Hallo

 Wenn du das skizzierst, siehst du dass die Höhe des Dreiecks 1 ist. (Abstand des Punktes (1,0) von der Geraden y=1 die die Hochpunkte verbindet.) der Abstand der Schnittpunkte der Tangenten mit y=1 ist die Grundlinie.

 man sollte so was immer skizzieren, dann ist es einfach.

Gruß lulBildschirmfoto 2019-05-01 um 16.51.52.png

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