Aufgabe:
Sei A regulär, Zeigen sie dann gilt:
a.) A-1 ist regulär und (A-1)-1 = A
b.) λA mit λ ungleich 0 ist regulär und (λA-1) = 1/λ A-1
Problem/Ansatz:
a.) Eine Matrix heißt regulär, wenn sie den vollen Rang hat, sonst singulär.
Ich weiß, dass das eine Eigentschaft von regulären Matrizen ist, finde nur nirgends einen Beweis dazu.
Was wenn ich Standardbasen nehmen würde. Daraus kann man ja mit Zeilenumformungen jede beliebige Matrix bilden.
$$A= \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} , a,b,c \in \mathbb R $$
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{b} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{c} \end{pmatrix} $$
Inverse ist wiede Regulär (alle Zeilen, bzw. Spalten sind linear unabhängig).
Reicht das ?
b.) Hät ich dann gleich gezeigt, das ich halt λ noch reinmultiplizier, aber das ändert ja nix, da ich mit a,b,c ∈ℝ schon diesen Fall ebenfalls abgedeckt habe.