Überabzählbar unendlich - Beweis

Question

Eine Zahl x € [0;1) heiße gut, falls ihre Dezimaldarstellung

$$ x = 0 , a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } \ldots = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } a _ { k } 10 ^ { - k } , \quad a _ { k } \in \{ 0,1 , \ldots , 9 \} $$

jede der Ziffern 0,1,...,9 unendlich oft enthält. Zeigen Sie, dass die Menge der guten Zahlen überabzählbar ist.

Hinweis: Die Dezimaldarstellung guter Zahlen ist eindeutig bestimmt.

Answer 1

Kombiniere die angegebene Definition der "guten" Zahlen mit https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cberabz%C3%A4hlbare_Menge

Überabzählbar heisst, man kann die Zahlen nicht alle in eine nummerierte Liste schreiben.

Beweis indirekt:

Angenommen du hast eine nummerierte Liste von "guten Zahlen" erstellt.

Nun kannst ist die folgende "gute Zahl" sicher noch nicht in der Liste:

Erste Ziffer 0

Komma

Zweite Ziffer (entsprechende Ziffer in der ersten Listenzahl minus 1 und Betrag davon).

Dritte Ziffer (entsprechende Ziffer in der zweiten Listenzahl minus 1 und Betrag davon).

Vierte Ziffer (ensprechende Ziffer in der dritten Listenzahl minus 1 und Betrag davon).

usw.

D.h. die vorhandene Liste ist nicht vollständig und damit sind die "guten Zahlen" überabzählbar.

Vgl. Cantor-Diagonalisierung