|exp (ix)| = 1 für alle x ∈ R
Vorbemerkungen:
(1)
Dass \(\exp(\bar{x})=\overline{\exp(x)}\) gilt, folgt aus der Reihendarstellung von \(\exp(x)\).
(2)
Es ist \(\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}\), da \(1=\exp(0)=\exp(x-x)\overset{(*)}=\exp(x)\exp(-x)\)
\((*)\) nach Funktionalgleichung (Ich vermute, dass ihr die gezeigt habt)
Beweis:
Es ist nach der Vorbemerkung \(\overline{ \exp(ix)}=\exp(-iz)\overset{(2)}=\frac{1}{\exp(ix)}\). Daher ist \(|\exp(ix)|^2=\exp(ix)\cdot \overline{\exp(ix)}=1\) \(\Box\)