Aloha :)
Das ist eine Aufgabe mit bedingten Wahrscheinlichkeiten. Die sind sehr fummelig. Deswegen empfehle ich dir, die ganzen Informationen aus dem Text zunächst in einer sogenannten "4-Felder-Tafel" zu visualisieren. Ich schreibe die Tabelle erstmal hin und erkläre danach, wie sie zustande kommt:
| Fahrer besoffen
| Fahrer nüchtern
|
|
Test zeigt besoffen
| 8
| 9
| 17
|
Test zeigt nüchtern
| 2
| 81
| 83
|
| 10
| 90
| 100
|
1) Es gibt 2 Zustände für die Fahrer, "besoffen" und "nüchtern". [siehe Spalten]
2) Es gibt 2 Zustände für den Test, "zeigt besoffen" und "zeigt nüchtern". [siehe Zeilen]
3) Von 100 Fahrern sind erwartungsgemäß 10 besoffen, also 90 nüchtern. [unterste Zeile]
4) Bei Alkoholsündern irrt sich der Test zu 20%. Von den 10 Besoffenen werden also 8 als besoffen erkannt und 2 als nüchtern. (Fehrer-besoffen-Spalte)
5) Bei den Nüchtern-Fahrern irrt sich der Test zu 10%. Von den 90 Nüchtern-Fahrern werden also 9 als besoffen erkannt und 81 als nüchtern (Fahrer-nüchtern-Spalte)
6) Jetzt kannst du noch die letzte Spalte vervollständigen.
Daraus kannst du jetzt alle gesuchten Wahrscheinlichkeiten ablesen:
a) In 17 von 100 Fällen zeigt der Test besoffen, macht \(\frac{17}{100}\) Wahrscheinlichkeit.
b) In 83 Fällen zeigt der Test nüchtern, obwohl 2 Besoffene dabei sind, macht \(\frac{2}{83}\) Wahrscheinlichkeit.
c) In 9+2=11 von 100 Fällen liegt der Test falsch, macht \(\frac{11}{100}\) Wahrscheinlichkeit.