Urnenziehung ohne zurücklegen Anzahl der Möglichkeiten

Question

Aufgabe:

Eine Urne enthalte 5 schwarze, 3 weiße und 2 gelbe Kugeln.

a) Aus der Urne werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse
A: „Alle Kugeln haben unterschiedliche Farben“
B: „Alle Kugeln sind gleichfarbig“
b) Als Zufallsgröße X sei die Anzahl der schwarzen Kugeln unter den entnommenen Kugeln festgelegt. Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an und berechnen Sie den Erwartungswert von X.
c) Aus der Urne werden nun vier Kugeln entnommen, wobei eine entnommene Kugel genau dann wieder zurückgelegt wird, wenn ihre Farbe nicht schwarz ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau drei der Kugeln schwarz sind.

Problem/Ansatz:

Bei der Lösung zum Aufgabenteil a) würde ich mit einem dreistufigen Baumdiagramm arbeiten. Ereignis B würden also die Pfade (SSS) und (WWW) beinhalten (Gelb kann nicht existieren, da ich zu wenig kugeln habe).

D.h. (SSS) = 5/10*4/9*3/8=1/12 addiert mit (WWW) = 3/10*2/9*1/8=1/120 ergibt 11/120=P(B)

Um die Anzahl der Möglichkeiten zu ermitteln, kann ich ja entweder die Ausgänge der Pfade zusammenzählen und komme somit auf 26 (nicht 27). Setze ich aber in den Binomialkoeffizient ein (10 über 3) komme ich auf 120 Möglichkeiten. Kann mir hier jemand meinen Denkfehler erklären?

Wäre es möglich mir einen Ansatz für den Aufgabenteil b) zu formulieren

LG

Answer 1

Um die Anzahl der Möglichkeiten zu ermitteln, kann ich ja entweder die Ausgänge der Pfade zusammenzählen und komme somit auf 26 (nicht 27). Setze ich aber in den Binomialkoeffizient ein (10 über 3) komme ich auf 120 Möglichkeiten. Kann mir hier jemand meinen Denkfehler erklären?

Wie kommst du auf 26 oder 27?

Gemäß dem Fundamentalprinzip der Kombinatorik dürfen die Pfadausgänge nicht addiert sondern müssen multipliziert werden.

Das sind

10 * 9 * 8 = 720

wobei man hier annimmt das die Reihenfolge eine Rolle spielt. Dann muss die Reihenfolge auch im Zähler mit berücksichtigt werden.

Hier wäre meine Kontroll-Lösung

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort,

so wie ich das jetzt verstanden habe, haben wir Aussage B gleich Berechnet. Hier werden doch nur die Pfadenden des entsprechenden Baums addiert. Addiere ich nun alle Enden so sollte ich doch auf alle möglichen Ergebnisse kommen oder liege ich da falsch? Nach meiner Ansicht hat ein passender Baum zu dieser Aufgabe 27 mögliche Ausgänge (bzw. 26 falls man den Pfad mit der Wahrscheinlichkeit 0 auslässt)

ähnlich wie in diesem Baum. Um nun alle Möglichkeiten in der Formel zu Berechnen, muss ich doch den Binomialkoeffizienten anwenden? Also (10 über 3)=120 Das widerspricht doch aber dem Baum? Ich glaube ich sitze schon zu lange am Schreibtisch :-(

LG

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Wenn du alle Pfadwahrscheinlichkeiten addierst solltest du auf 100% kommen.

Mir ist nicht ganz klar welches Ergebnis du bekommen möchtest? Die 27 Möglichkeiten?

Auf die darfst du nicht kommen weil die nach Laplace ja nicht gleichwahrscheinlich sind.

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Es geht mir rein um die Anzahl der Möglichkeiten drei Kugeln aus oben genannter Urne zu ziehen.

Wie bekomme ich diese aus einem Baumdiagramm und wie berechne ich diese mit der richtigen Formel (und wie lautet diese)

LG

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Wenn du jeder Kugel eine individuelle Nummer gibst dann sind es 10 * 9 * 8 = 720 Möglichkeiten. Dieses Prinzip nutzt man auch generell bei Baumdiagrammen.

So kommt ja immer der Nenner zustande.

Es sind 720 Möglichkeiten, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Das ist wichtig damit man mit der Regel von Laplace rechnen kann.

Bei deinen 27 Pfadenden siehst du ja bereits, dass dabei verschiedene Pfadausgänge auch verschiedene Wahrscheinlichkeiten besitzen. Daher ist es ungünstig mit den 27 Pfaden zu arbeiten.

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Kontroll-Lösung :
P(c) = 0,1996

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Danke Gast hj2166 für das wachsame Auge. 

c) muss natürlich wie folgt gelöst werden:

P(sssx, ssxs, sxss, xsss) = 5/10·4/9·3/8·5/7 + 5/10·4/9·5/8·3/8 + 5/10·5/9·4/9·3/8 + 5/10·5/10·4/9·3/8 = 1207/6048 = 0.1996

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OK jetzt habe ich es auch mal verstanden. Habe die Gleichwahrscheinlichkeit am Baum einfach mal so ignoriert. Ein Spaziergang an der frischen Luft wirkt manchmal Wunder.

LG

Answer 2

Eine Urne enthalte 5 schwarze, 3 weiße und 2 gelbe Kugeln.
a) Aus der Urne werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse
A: „Alle Kugeln haben unterschiedliche Farben“
Kombination
S - W - G
( 5 /10 ) * (3/9) * (2/8) = ( 5 * 3 * 2 ) / (10 * 9 * 8) = 30 / 720
alle Ziehungsreihenfolgen haben dieselbe Wahrscheinlichkeit
W - G - S
(3/10) * (2/9) * (5/8) =  ( 3 * 2 * 5 ) / ( 10 * 9 * 8) = 30 /720

also 30 / 720

B: „Alle Kugeln sind gleichfarbig“

geht nur mit
S - S - S
(5 / 10 ) * ( 4 / 9 ) * ( 3 / 8 ) = ( 5 * 4 * 3 ) / ( 10 * 9 * 8 ) =

oder
W * W * W
(3 / 10 ) * ( 2 / 9 ) * ( 1 / 8 ) =

Beide Wahrschelinchkeiten summieren.

Comments

jetzt bin ich doch der Auffassung :
Es gibt 6 verschiedene Möglichkeiten
3 verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen
SWG
SGW
WSG
WGS
GSW
GWS

also 6 * 30 / 720

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Vielen Dank für die schnelle Antwort :)