Elementare Wahrscheinlichkeit: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Kiste i leer ist.

Question

Auf einem Tisch stehen N Kisten. In diese Kisten werden nacheinander unabhängig voneinander n Bälle geworfen, wobei jede Kiste mit gleicher Wahrscheinlichkeit getroffen wird.

(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Kiste \( i \) leer ist. Sei \( Y_{i} \) die Zufallsvariable, die den Wert 1 annimmt, falls Kiste \( i \) leer ist, und 0 sonst. Geben Sie auch den Erwartungswert \( E\left[Y_{i}\right] \) an.

(b) Sei \( X \) die Zufallsvariable, welche die Anzahl von leeren Kisten angibt. Berechnen Sie den Erwartungswert von \( X \) mit Hilfe der Erwartungswerte \( E\left[Y_{i}\right] \)

(c) Geben Sie eine möglichst gute Schranke \( f(N) \) an, so dass gilt: wenn \( n \geq f(N) \), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kiste mindestens zwei Bälle enthält, größer als \( 1 / 2 . \) (Hinweis: Verwenden Sie die ungemein nützliche Abschätzung \( 1+x \leq e^{x} \), welche für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt.)

(d) Professor Pinocchio hat eine Idee, um Hashtabellen zu vereinfachen. Wenn wir die Zahl \( N \) der Plätze in der Hashtabelle im Verhältnis zur Anzahl der \( z u \) speichernden Einträge \( n \) groß genug wählen, sollte die Wahrscheinlichkeit, dass Kollisionen auftreten, verschwindend gering werden (unter der Annahme, dass sich die Hashfunktion wie eine zufällige Funktion verhält). Dann könnte man auf die Kollisionsbehandlung verzichten. In Anbetracht von (c), was halten Sie von dem Vorschlag? (Wenn Sie Teil (c) nicht gelöst haben, dann bearbeiten Sie diesen Teil unter der Annahme, dass \( f(N)=N^{1 / 3} \) ist. Achtung: Das ist nicht die Lösung für (c).)

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Elementare Wahrscheinlichkeit: Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Kiste i leer ist.

Teil (a) Die Wahrscheinlichkeit, dass Kiste i leer ist

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass eine bestimmte Kiste \( i \) leer bleibt, betrachten wir zunächst, wie die Wahrscheinlichkeit aussieht, dass ein einzelner Ball nicht in Kiste \( i \) landet. Da alle Kisten die gleiche Chance haben, getroffen zu werden, und es insgesamt \( N \) Kisten gibt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball in eine spezifische andere Kiste als Kiste \( i \) fällt, \( \frac{N-1}{N} \).

Da \( n \) Bälle unabhängig voneinander in die Kisten geworfen werden, multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeit für jeden Ball, nicht in Kiste \( i \) zu landen, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu erhalten, dass Kiste \( i \) leer bleibt. Das bedeutet:

\( \text{Wahrscheinlichkeit, dass Kiste } i \text{ leer bleibt} = \left( \frac{N-1}{N} \right)^n \)

Der Erwartungswert \( E[Y_i] \) ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt (Kiste \( i \) ist leer), also:

\( E[Y_i] = \left( \frac{N-1}{N} \right)^n \)

Teil (b) Erwartungswert von \( X \), der Anzahl leerer Kisten

Die Zufallsvariable \( X \) repräsentiert die Anzahl der leeren Kisten. Berechnen wir den Erwartungswert \( E[X] \) mittels der Erwartungswerte \( E[Y_i] \), die wir bereits kennen. Da jede Kiste unabhängig von den anderen leer bleiben kann, ist der Erwartungswert von \( X \) einfach die Summe der Erwartungswerte aller \( Y_i \):

\( E[X] = \sum_{i=1}^{N} E[Y_i] = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{N-1}{N} \right)^n = N \left( \frac{N-1}{N} \right)^n \)

Teil (c) Schranke \( f(N) \), so dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kiste mindestens zwei Bälle enthält, größer als \( 1 / 2 \) ist

Um \( f(N) \) zu finden, das die Bedingung erfüllt, dass die Wahrscheinlichkeit, mindestens zwei Bälle in einer Kiste zu haben, größter als \(1/2\) ist, überlegen wir, dass die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen Ball in einer Kiste zu haben, mittels des Gegenereignisses zu dem Ereignis, dass die Kiste leer ist, berechnet werden kann.

Verwenden wir die Abschätzung \( 1+x \leq e^x \) für die Wahrscheinlichkeit, indem wir die Wahrscheinlichkeit betrachten, dass zwei spezifische Bälle in dieselbe Kiste fallen. Da es genau \( N \) Kisten gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für zwei bestimmte Bälle, in dieselbe Kiste zu fallen, \(1/N\). Mit \( n(n-1)/2 \) möglichen Ballpaaren ist die gesuchte Schranke schwer direkt zu berechnen, aber wir können argumentieren, dass, wenn \( n \) groß genug im Vergleich zu \( N \) ist, diese Wahrscheinlichkeit wächst.

Ein guter Ansatz zur Schätzung wäre, den Punkt zu finden, an dem die erwartete Anzahl von Paaren in denselben Kisten den Wert \( 1 \) übersteigt, was impliziert, dass \( f(N) \) in einer Beziehung zu \( N \) steht, die die kumulative Wahrscheinlichkeit erhöht. Für genaue Berechnungen müsste man jedoch tiefer in die stochastischen Prozesse einsteigen.

Teil (d) Professor Pinocchios Vorschlag bezüglich der Hashtabellen

Basierend auf Teil (c) und der Annahme \( f(N) = N^{1/3} \), sehen wir, dass das Verhältnis von \( n \) zu \( N \) wichtig ist, um die Wahrscheinlichkeit von Kollisionen zu minimieren. Wenn \( N \) groß genug gewählt wird im Verhältnis zu \( n \), so dass \( n < N^{1/3} \), scheint die Idee, Kollisionsbehandlung zu vermeiden, plausibel zu sein, da die Wahrscheinlichkeit von Kollisionen tatsächlich verschwindend gering wird.

Es ist jedoch wichtig zu betonen, dass selbst bei einem großen \( N \) im Vergleich zu \( n \) immer noch eine nicht-verschwindende Wahrscheinlichkeit von Kollisionen besteht, insbesondere bei realen Anwendungen mit großen Datensätzen. Daher könnte es riskant sein, ganz auf Kollisionsbehandlung zu verzichten, insbesondere in Anwendungsfällen, bei denen Datenintegrität kritisch ist. Es ist immer ein Kompromiss zwischen der Größe des Speichers (und damit der Leistung) und der Sicherheit gegen Kollisionen.