Aloha :)
Zuerst setzen wir \(a=-0,25\) ein und berechnen die Funktion und ihre beiden ersten Ableitungen:
$$f_{-0,25}(x)=2\cdot(-0,25)x^3+(2-4\cdot(-0,25))x=-0,5x^3+3x$$$$f'_{-0,25}(x)=-1,5x^2+3$$$$f''_{-0,25}(x)=-3x$$Notwendige Bedingung für ein Extremum ist, dass die erste Ableitung gleich Null wird:$$-1,5x^2+3=0\;\;\Leftrightarrow\;\;-1,5x^2=-3\;\;\Leftrightarrow\;\;x^2=2\;\;\Leftrightarrow\;\;x=\pm\sqrt2$$Wir haben also 2 mögliche Kandidaten für ein Extremum. Anhand der zweiten Ableitung können wir prüfen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt:$$f''_{-0,25}(+\sqrt2)=-3\sqrt2<0\quad\Rightarrow\quad\text{Hochpunkt}$$$$f''_{-0,25}(-\sqrt2)=+3\sqrt2>0\quad\Rightarrow\quad\text{Tiefpunkt}$$Der Hochpunkt für \(a=-0,25\) befindet sich also bei \(H(\sqrt2\,;\,2\sqrt2)\).
Jetzt musst du noch zeigen, dass alle Graphen, unabhängig vom Wert für \(a\) durch den Hochpunkt gehen:
$$f_a(\sqrt2)=2a(\sqrt2)^3+(2-4a)\sqrt2=2a\cdot(\sqrt2)^2\sqrt2+(2-4a)\sqrt2=2a\cdot2\sqrt2+(2-4a)\sqrt2$$$$=4a\sqrt2+2\sqrt2-4a\sqrt2=2\sqrt2$$Also gilt stets: \(f_a(\sqrt2)=2\sqrt2\).