Antwort mit KI erzeugt
Transformierung der Skalenwerte gemäß affiner Abbildung
Um zu zeigen, dass das neue arithmetische Mittel der transformierten Skalenwerte \(\bar{y} = a\bar{x} + b\) ist, nutzen wir die Definition der affinen Abbildung und des arithmetischen Mittels.
Gegeben sind die Skalenwerte \(x_1, x_2, ..., x_n\) und ihre Transformation gemäß der affinen Abbildung
\( y = a \cdot x + b, \)
wobei \(a, b \in \mathbb{R}\) und \(a \neq 0\).
Das ursprüngliche arithmetische Mittel \(\bar{x}\) der \(x\)-Werte ist definiert als
\( \bar{x} = \frac{1}{n}(x_1 + x_2 + ... + x_n). \)
Die transformierten Werte \(y_i\) sind gegeben durch
\( y_i = a \cdot x_i + b \)
für \(i = 1, 2, ..., n\).
Das arithmetische Mittel \(\bar{y}\) der transformierten Werte ist definiert als
\( \bar{y} = \frac{1}{n}(y_1 + y_2 + ... + y_n). \)
Einsetzen der gegebenen Transformationsgleichung in die Formel für \(\bar{y}\) ergibt
\( \bar{y} = \frac{1}{n}[(a \cdot x_1 + b) + (a \cdot x_2 + b) + ... + (a \cdot x_n + b)]. \)
Dieser Ausdruck lässt sich umformen zu
\( \bar{y} = \frac{1}{n}[a(x_1+x_2+...+x_n) + n \cdot b], \)
weil \(a\) und \(b\) jeweils aus jedem Summanden herausgezogen werden können, und es gibt insgesamt \(n\) Summanden von \(b\).
Ersetzen wir die Summe \((x_1+x_2+...+x_n)\) durch \(n\bar{x}\) (denn das ist genau die Definition des arithmetischen Mittels \(\bar{x}\) multipliziert mit der Anzahl der Elemente \(n\)), erhalten wir
\( \bar{y} = \frac{1}{n}[a(n\bar{x}) + n \cdot b], \)
\( \bar{y} = \frac{1}{n}[an\bar{x} + bn], \)
\( \bar{y} = a\bar{x} + b. \)
Somit haben wir gezeigt, dass, wenn man die Skalenwerte gemäß der affinen Abbildung \(y = a \cdot x + b\) transformiert, das neue arithmetische Mittel \(\bar{y}\) tatsächlich gleich \(a\bar{x} + b\) ist.
