ich muss folgende Aufgabe lösen. Bin aber nicht sicher ob mein Ergebnis, das richtige ist und ob es sowohl (i) als auch (ii) beantwortet. Oder muss ich was anderes hier machen?
Aufgabe:
Es seien V ein Vektorraum über dem Körper K und v1,...vn,w enthalten in V.
Zeigen Sie:
(i)
Sind v1,...,vn linear unabhängig und v1,..,vn,w linear abhängig so lässt sich w als linearkombination der Vektoren v1,..,vn schreiben.
(ii)
Sind v1,..,vn linear unabhängig mit der Eigenschaft, dass v1,..,vn,w linear abhängig sind für alle vektoren w aus V, so bildet die Menge {v1,..vn} ein Erzeugersystem von V ( und damit eine Basis von V)
Ansatz:
\( \text{ Sei } (v_i)_{i \in I} \\ v_1,..,v_n \text{ linear unabhängig } \Longleftrightarrow \{(a_1*v_1 + a_2*v_2 + ... + a_n*v_n = 0) : \forall a_i = 0\} \\\Longleftrightarrow (\sum \limits_{i \in I}^{} a_i*v_n = 0): \forall a_i = 0 \\ \\ \{((\sum \limits_{i \in I}^{} a_i*v_n)+a_i*w = 0):\exists a_i \neq0 \}\land \{(\sum \limits_{i \in I}^{} a_i*v_n = 0): \forall a_i = 0\} \\\Longrightarrow (\sum \limits_{i \in I}^{} a_i*v_n) = w \\\Longleftrightarrow w \in span(\{v_1,...,v_n\}) \\\Longleftrightarrow w \in span(V) \)
Meine Idee war, da v1..vn linear unabhängig sind, ist die einzige Möglichkeit, das deren Linearkombination den 0 Vektor ergibt wenn alle Koeffizienten a = 0 sind.
Da aber die Linearkombination von v1,...,vn, w linear abhängig ist. Existiert also mindestens ein a, dass nicht 0 sein muss,damit sich der 0 Vektor herstellen lässt. Und wenn man jetzt w überzieht, lässt sich sagen, dass man aus der Linearkombination aus v1,..,vn den Vektor w herstellen kann. Und dies bedeutet, dass der Vektor w im span aus dem Vektoren v1,..,vn enthalten ist und der span auch das Erzeugersystem ist und deshalb auch die Basis von V.
