Es gibt 11 Axiome: Der Körper soll für "+" eine Abelsche Gruppe sein, macht 5 Axiome, Reihenfolge wie üblich.
Der Körper soll für "*" eine Abelsche Gruppe sein, macht 5 Axiome. Nr. 11: Distr.ges. (a+b)c=...nur so herum!
Bei (a) ist die Gleichheit zu beweisen, kein =>
(a+b)(c+d) wegen Nr6 ist die 2. Klammer ∈ K, dann Nr11
=a(c+d) + b(c+d) wegen Nr1 sind die Klammern ∈ K, Nr10 (Komm.*)
=(c+d)a + (c+d)b Nr11
=(ca + da) + (cb +db) Nr10 Komm.*, (Nr1 und 6)
=(ac + ad) + (bc + bd) die 2. Klammer ist wegen Nr1 und 6 ∈ K. Jetzt wird es hart, weil das Ass. kommt
={ac + ad} + (bc + bd) Nr2, (Nr1 und 6)
=ac + {ad + (bc + bd)} Nr5, (Nr1 und 6)
=ac + {ad + (bd + bc)} Nr2, (Nr1 und 6)
=ac + {(ad + bd) + bc} Nr5, (Nr1 und 6)
=ac + {(bd + ad) + bc} Nr2, (Nr1 und 6)
=ac + {bd + (ad + bc)} Nr5, (Nr1 und 6)
=ac + {bd + (bc + ad)} Nr2, (Nr1 und 6)
={ac + bd} + (bc + ad) Nr2, (Nr1 und 6)
=((ac + bd) +bc) +ad Klammern weg, da von links nach rechts gerechnet wird.
=ac + bd + bc + ad