Aloha :)
Behauptung: \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<n\quad;\quad n\ge3\)
Verankerung bei \(n=3\):$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{3}\right)^3=\left(\frac{4}{3}\right)^3=\frac{64}{27}<\frac{81}{27}=3=n\quad\checkmark$$
Induktionsschritt \(n\to n+1\):
Betrachte zunächst:$$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)-\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=-\frac{1}{n(n+1)}<0$$$$\Rightarrow\;\;\left(1+\frac{1}{n+1}\right)<\left(1+\frac{1}{n}\right)$$Damit ist nun:$$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\underbrace{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}_{<n}\left(1+\frac{1}{n}\right)<n\cdot\frac{n+1}{n}=n+1$$