Wie kann diese polynomiale Identität mit Induktion beweisen?

Question

Ich habe diese polynomiale Identität, welche ich mit Induktion beweisen soll

\( \sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^{n-k} s_{n, k} X^{k}=\prod \limits_{j=0}^{n-1}(X-j) \)

Und bis jetzt habe ich den Induktionsanfang, Behauptung, Voraussetzung. Aber ich weiß nicht wie ich den Schritt machen soll für n+1.

Comments

Was mir noch eingefallen ist - wenn du schon ein solches Forum benutzt, um Hinweise einzuholen, musst du den Leuten genauer sagen, worum es geht. In unserer DiMa schreiben wir zwar $$s_{n,k}$$ für die Stirlingzahlen erster Art, aber diese Notation ist kein Standard, somit verstehen andere Mathelounge-Nutzer vermutlich gar nicht immer, was zu zeigen ist und wie man es zeigen würde...

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Wenn eine Frage das erste Mal auftaucht, wird oft nachgefragt oder Unvollständigkeit gemeldet.

Diese Frage wurde vemutlich mehrfach eingestellt. Ich kann mich erinnern, dass in einem Kommentarverlauf vor ein paar Tagen nach S_{n,k} (mit grossem S) gefragt wurde.

Viel älter ist https://www.mathelounge.de/393147/stirling-zahlen-erster-art-beweis-mit-summen-produktzeichen

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Ach das stimmt, mein Fehler

Answer 1

Wende die Rekursionsformel für die Stirlingzahl erster Art an und zieh die Summe auseinander. Jetzt solltest du zwei Summen haben, die du etwas umschreiben musst (ich hoffe, dir sagt "Indexshift" etwas) und auf beide kannst du die Induktionsvoraussetzung anwenden. Zuletzt klammerst du das Produkt aus und ziehst den Faktor ins Produktzeichen rein.

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Vielen Dank :-)