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Wie beweist man, dass diese Folge divergiert?

\( a_{n}:=\frac{n+2}{\sqrt{3 n+4}} \)

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unabhängig von der Frage: bei n/sqrt(n) kann man sagen, dass n (Lineare Fkt) schneller wächst als die Wurzelfunktion und => lim geht gg infinity. Ihr sollte es ja aber bestimmt mit etwas mehr "Rechenweg" "zeigen".

Ja, aber danke trotzdem für diesen Hinweis, ist eine nützliche Info :)

2 Antworten

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Hallo

vekleinere  den Zähler auf n  dann hast du  a_n>n/√(3n+4)

vergrößere den Nenner auf 3n+n für n>4

 dann hast du dein an>1/2√n und das divergiert, also erst recht dein an.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Cool, danke! Dass \( \frac{1}{2} \)\( \sqrt{n} \) divergiert, kann man dann ja zeigen, indem man beweist, dass diese Folge unbeschränkt ist

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Ich kenne mich nicht so gut mit Grenzwertberechnung aus.

1. Sage n/\sqrt{n} -> infinity da Wurzel langsamer als lineare fkt wächst

2.

Ach genau du kannst auch das "Sandhexen Lemma" (Sandwich,2 Polizisten, Thicc thigh lemma ...) benutzen, (also wie in der einen Antwort von lul glaube ich) eine Folge nehmen die kleiner ist und wenn die dann schon gg unendlich geht, dann die groessere erst recht, dann könntest du +4 in der wurzel z.B. zu n machen.
n->unendlich ist also groesser als +4 und dann kann man die a:  2/2*sqrt(n)  und b:  n/2*sqrt(n)
getrennt betrachten. a: geht offensichtlich gg 0
b: n/2*sqrt(n) = (1/2) * sqrt(n^2 / n ) = (1/2)* sqrt(n) -> unendlich für n gg unendlich.

Jetzt hast du eine Divergierende Minorante, also muss deine groessere Folge auch divergieren.


3. (!! nicht fertig, wahrscheinlich schlecht)

Ansatz n ausklammern und gucken was passiert

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+2}{\sqrt{3n+4}} =\lim\limits_{n\to\infty} n*( \frac{1+ \frac{2}{n}}{\frac{1}{n}\sqrt{3n+4}}) = \lim\limits_{n\to\infty} n*( \frac{1+ \frac{2}{n}}{\sqrt{\frac{1}{n^2}(3n+4) }}) $$

$$=\lim\limits_{n\to\infty} n*( \frac{1+ \frac{2}{n}}{\sqrt{\frac{3}{n}+\frac{4}{n^2} }})$$ => $$"  \infty*( \frac{1+ 0}{\sqrt{0+0}})"  =  " \infty*( \frac{1}{0})" =  "  \frac{\infty}{0}" $$ Wenn ich mich recht erinnere kann man dann bei solchen Ausdrücken den Satz von L'Hospital nutzen. Wir muessen unendlich /0 zu 0/0 oder unendlich/unendlich umformen und dann f(n) und g(n) bestimmen und ableiten, siehe https://matheguru.com/analysis/regel-von-de-lhospital.html https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_de_l%E2%80%99Hospital Jedoch komme ich hier nicht weiter, (nicht sicher ob man das demnach umformen kann , die Ableitungen wären dann meist leichter zu handhaben.... $$ \frac{\infty}{0} <=> ?

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"Thicc thigh" - Lemma? Cooler Name :D Danke für deine Hilfe!!! Hast mir sehr geholfen :)

3. (!! nicht fertig, wahrscheinlich schlecht)

Du solltest dir nochmals den unterschied ausklammern und kürzen ansehen. Was du hier machen musst ist kürzen. Das hast du gemacht. Der Faktor n den du dann zuzätzlich erhältst ist falsch.

Am ende hast du den Grenzwert

"1/√0" = "1/(0+)" und das geht gegen Unendlich.

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