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Gegeben seien die Menge G : = { x ∈ R , | x | < 1 } und die Verknüpfung ∗ ,  die für x , y ∈ G durch x  ∗ y : = x + y / 1 + xy definiert ist.

Untersuchen Sie, ob die algebraische Struktur (G , ∗ ) eine kommutative Gruppe ist.

1.Abgeschlossenheit, 2.Assoziativität, 3.Neutrales Element, 4.Inverses Element, 5.Kommutativität


LG

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zur Abgeschlossenheit:

\(\frac{x+y}{1+xy} < \frac{1+1}{1+1} = \frac{2}{2} = 1 \Rightarrow \) abgeschlossen

zur Assoziativität

\((x*y)*z=\frac{(x+y)+z}{1+(xy)z }= \frac{x+(y+z)}{1+x(yz)}= x*(y*z) \Rightarrow\) assoziativ

zum neutralen element

\(x*0=\frac{x+0}{1+x0}=\frac{x}{1}=x\) sowie

\(0*x =\frac{0+x}{1+0x}=\frac{x}{1}=x \Rightarrow \) die Struktur besitzt ein Nullelement. Das Einselement ist zwar möglich, aber aufgrund der Definition von \(G\) nicht zugelassen

Zur Kommutativtät:

\(x*y=\frac{x+y}{1+xy}=\frac{y+x}{1+yx}=y*x \Rightarrow\) Die Struktur ist kommutativ, da die Addition und Multiplikation kommutativ ist.

zum Inversen Element:

\(x*x^{-}=\frac{x+(-x)}{1+x(-x)}=\frac{0}{1-x^2}=0\) sowie

\(x^{-}*x=\frac{-x+x}{1+(-x)x}=\frac{0}{1-x^2}=0 \Rightarrow \) Das inverse Element \(x^-\) ist gegeben durch \(x^-=-x\).

\(\Rightarrow\) die Struktur ist eine abelsche Gruppe

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