Aloha :)
Die Poisson-Verteilung hilft uns hier nicht weiter, weil in der Aufgabenstellung die Lebensdauer als eine Exponentialverteilung mit der Ausfallrate \(\alpha=0,2\) [Ausfälle pro Jahr] vorgegeben ist. Die Wahrscheinlichkeitsdichte \(f(t)\) ist also proportional zu \(e^{-\alpha\, t}\):$$f(t)=c\, e^{-\alpha\, t}\quad;\quad \alpha,c=\text{const.}$$
Die noch fehlende Proportionalitätskonstante \(c\) finden wir mit der Forderung, dass die Fläche unter einer Wahrscheinlichkeitsdichte \(f(t)\) stets auf \(1\) normiert sein muss:$$1\stackrel{!}{=}\int\limits_0^\infty f(t)\,dt=\int\limits_0^\infty ce^{-\alpha t}\,dt=\left[-\frac{c}{\alpha}e^{-\alpha t}\right]_{t=0}^\infty=0-\left(-\frac{c}{\alpha}\right)=\frac{c}{\alpha}\;\;\Rightarrow\;\;c=\alpha$$Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung lautet daher:$$f(t)=\alpha\,e^{-\alpha\, t}\quad;\quad\alpha=0,2$$
Die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls vor der Zeit \(t\) ist dann:$$P(t)=\int\limits_0^t f(\tau)\,d\tau=\int\limits_0^t\alpha\,e^{-\alpha\,\tau}\,d\tau=\left[-e^{-\alpha\,\tau}\right]_{\tau=0}^t=-e^{-\alpha\,t}-(-1)$$$$\underline{P(t)=1-e^{-\alpha\,t}=1-e^{-0,2\,t}}$$
So gerüstet können wir nun die Teilaufgaben angehen:
Teil a) Ist es realistisch, dass der Server länger als 12 Jahre funktioniert?
Die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls in den ersten 12 Jahren beträgt:$$P(12)=1-e^{-0,2\cdot12}=1-e^{-2,4}\approx90,93\%$$Die Wahrscheinlichkeit, dass er Server länger als 12 Jahre funktioniert ist daher \(9,07\%\). Das ist also eher unwahrscheinlich.
Teil b) Der Server sei 8 Jahre alt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert er noch 4 Jahre?
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Server in den ersten 8 Jahren ausfällt ist:$$P(8)=1-e^{-0,2\cdot8}=1-e^{-1,6}\approx79,81\%$$Die Wahrscheinlichkeit, dass er Server länger als 8 Jahre funktioniert ist daher \(20,19\%\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass der Server noch 4 weitere Jahre hält unter der Voraussetzung, dass er bereits 8 Jahre gehalten hat, ist daher:$$\frac{1-P(12)}{1-P(8)}=\frac{9,07\%}{20,19\%}=44,92\%$$
Teil c) Nach welcher Zeit sind 25%, 50%, 75% aller Server defekt?
$$0,25\stackrel{!}{=}1-e^{-0,2\,t}\;\;\Leftrightarrow\;\;e^{-0,2\,t}=0,75\;\;\Leftrightarrow\;\;-0,2\,t=\ln0,75\;\;\Leftrightarrow\;\;t=1,44$$$$0,5\stackrel{!}{=}1-e^{-0,2\,t}\;\;\Leftrightarrow\;\;e^{-0,2\,t}=0,5\;\;\Leftrightarrow\;\;-0,2\,t=\ln0,5\;\;\Leftrightarrow\;\;t=3,47$$$$0,75\stackrel{!}{=}1-e^{-0,2\,t}\;\;\Leftrightarrow\;\;e^{-0,2\,t}=0,25\;\;\Leftrightarrow\;\;-0,2\,t=\ln0,25\;\;\Leftrightarrow\;\;t=6,93$$
