Brüche addieren: 35 /78 + 143/ 210 =?

Question

ich hab mal ne richtig dumme frage, weil ich hier grad nicht wirklich weiter komme.

Meine Aufgabe ist es die Aufgabe oben mittels Superzeichen zu lösen.

Mein Weg. Ich bilde zuerst den Hauptnenner und dies mache ich mittels Primfaktorzerlegung, also ergibt sich folgendes:

78 = 2 * 3 * 13

210 = 2 * 3 * 5 * 7

HN: 2 * 3 * 5 * 7 * 13 = 2730

daraus folgt:

35/78 = (35*35)/2730 = 1225/2730

143/210 = (143*13)/2730 = 1859/2730

daraus folgt:

1225/2730 + 1859/2730 = 3084/2730

und diesen Bruch kann ich nochmals durch 6 teilen und erhalte:

514/455

meine Frage ist jetzt, gibt es eine Möglichkeit die "geteilt durch 6" schon vorweg zu nehmen, ohne vorher den HN 2730 zu bilden? Gibt es vll auch einen komplett anderen Weg?

Ich studiere Lehramt Mathematik und Ziel dieser Aufgabe ist es: erleben, wie komplex das für Schülerinnen und Schüler ist, wenn man den Prozess nicht in Superzeichen denkt.

Oder habe ich alles richtig gemacht und mit der Aufgabe die Komplexität gezeigt?

Comments

Am besten erklärst du den Laien noch kurz, was Superzeichen sind.

---

Was meinst du mit SUPERZEICHEN in diesem Kontext?

---

Leider nein , da nicht mit  6 erweitert wird und auch die Zähler  einzeln nicht durch 6 teilbar sind .

 ( Siehe Teilbarkeitsregeln)

SUPERZEICHEN? 

---

Prozesssuperzeichen in der Schule:
In der Schule treten Prozesssuperzeichen eher als „Verfahrensbündel“ auf:
> Hauptnenner bilden: 1/78 ,1/315
> Arbeitschritte beim Gleichungslösen

       \( \frac{4x−1}{x−1} \) + \( \frac{2x+9}{x+3} \) = 6
       - Mit den Nennern multiplizieren
       - Ausmultiplizieren
       - Zusammenfassen
       - Lineare Gleichung nach x auflösen
> Löse eine quadratischen Gleichung mit quadratischer Ergänzung
> ... alle „Rezepte“ die wir Unterrichten

das wäre die Folie dazu, ich denke hier ist nur Hauptnenner bilden interessant und die "Rezepte" die wir Unterrichten, also Primfaktorzerlegung, sowie schriftliche Multiplikation und Addition?

---

Ein sehr seltsamer Begriff für den Sachverhalt. Was soll dabei SUPER bedeuten?

---

Die Google-Suche nach 'Prozesssuperzeichen' liefert genau einen Treffer - nämlich diesen Beitrag!  'Verfahrensbündel' lieferte immerhin 143 Treffer, die aber nichts mit Mathe oder Schule zu tun hatten.

Du kannst also davon ausgehen, dass hier nur sehr wenige oder niemand versteht, was Du damit meinst. Es wäre hilfreich, wenn Du diese Vokabeln vorher erklärst, bzw. definierst.

Answer 1

Hallo

dein Vorgehen ist richtig, und man kann nicht vorher kürzen, da du ja den kleinsten möglichen HN benutzt hast.

Für Schüler: wie sieht man, dass man durch 6 kürzen kann.?

beide Zahlen sind gerade, und bei beiden ist die Quersumme durch 3 tb, also durch 6 tb.

(Alles was du nennst nicht "einfache Rechenregeln" sondern Superzeichen zu nennen können wohl nur Didaktiker , denn eigentlich spricht man von Superzeichen, wenn man längere Ausdrücke , die sich bei einer Rechnung wiederholen , zur Abkürzung durch ein Zeichen etwa A ersetzt, das erleichtert oft Zusammenfassen oder Ausklammern )

Gruß lul

Answer 2

Du kannst jede Addition zweier Brüche schreiben als $$\frac a{k \cdot p} + \frac b{k \cdot q} = \, ?$$wobei \(a\) teilerfremd zu \(k \cdot p\) und \(b\) teilerfremd zu \(k \cdot q\) ist. D.h. die Brüche sind vollständig gekürzt. Weiter soll \(p\) teilerfremd zu \(q\) sein. Dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache und damit der Hauptnenner \(\text{HN} = k\cdot p \cdot q\) und das Ergebnis$$\dots = \frac{a \cdot q + b \cdot p}{k \cdot p \cdot q}$$aus den Bedingungen oben folgt, dass der Zähler durch keinen Primfaktor von \(p\) oder \(q\) teilbar ist. Folglich ist - wenn überhaupt - der entstandene Bruch nur durch einen oder mehrere Primfaktoren von \(k\) kürzbar. Dann schreibe ich alle Zahlen im Zähler als Vielfaches von \(k\) plus Rest$$\begin{aligned}\dots &= \frac{(a_0k + a_r)(q_0k +q_r) + (b_0k+b_r)(p_0k+p_r)}{k \cdot p \cdot q} \\ &= \frac {(a_0q_0 + b_0p_0)k^2 + (a_0q_r + a_rq_0 + b_0p_r + b_rp_0)k + (a_rq_r + b_rp_r)}{k \cdot p \cdot q}\end{aligned}$$Dies ist offensichlich genau dann durch einen Primfaktor von \(k\) kürzbar, wenn der Term \(a_rq_r + b_rp_r\) durch eben diesen Primfaktor teilbar ist.

Zu Deinem Beispiel$$\begin{aligned}\frac {35}{78} + \frac{143}{210} &= \frac{30 +5}{6 \cdot 13} + \frac{138 + 5}{6 \cdot 35} \\&= \frac{(30 +5)^2 + (138 + 5)(12 + 1)}{6 \cdot 13 \cdot 35} && *) \\ &= \frac{(150 + 50) + (276 + 23 + 10) + 5 }{13 \cdot 35} \\ &= \frac{514}{455}\end{aligned}$$bei der markierten Zeile \(*)\) kann man 'sehen', dass der Rest durch \(6\) teilbar ist: \(5^2 +5= 30\). anschließend multipliziere ich die Terme im Kopf wobei ich jeweils aus einem der Faktoren den Teiler 6 weglasse. Was die Sache etwas erleichtert - statt z.B. \(138 \cdot 12\) rehnet man \(138 \cdot 2 = 276\). Am Ende muss man noch die \(30 \div 6 = 5\) anhängen. Der Rest ist reine Addition - geht also ganz ohne Taschenrechner und ohne explizite Berechnung des Hauptnenners.

Ob sich der Aufwand lohnt, sei dahin gestellt. Interessant könnte es bei der Addition von Stammbrüchen sein. Z.B.: $$\frac 1{21} + \frac 1{15} = \frac{ (3 + 2) + (6+1)}{3 \cdot 5 \cdot 7} = \frac {1+ 2+ 1}{35} = \frac 4{35}$$

Gruß Werner

Answer 3

Warum nicht?

r=1/6

\( \frac{35}{78} \) +\( \frac{143}{210} \) =

\( \frac{6-1r}{13} \) +\( \frac{24-1r}{35} \) =

\( \frac{210-35r}{455} \) +\( \frac{312-13r}{455} \) =

\( \frac{522-48r}{455} \) =\( \frac{514}{455} \) = 1 \( \frac{59}{455} \)

Ich habe immer noch keine Ahnung, was Superzeichen sind, doch es fällt auch ohne Primzahlzerlegung auf, dass beide Nenner durch 6 teilbar sind

( gerade und 3 I QS)

Ich fand es war so einfacher zu rechnen.

Den Schülerinnen und Schülern würde ich das aber nicht beibringen. Denn die Taschenrechner können das doch viel sicherer.