Question

Differentialgleichung lösen:

y´ * sin (x) = - cos (x) * y(x) - x^(1/2)

Answer 1

Hallo

 das ist ne inhomogene  lineare Dgl, erst die homogene lösen mit Trennung der Variablen: dy=-cos(x)/sin(x)*dx , dann partielle Lösung raten oder Variation der Konstanten.

Gruß lul

Answer 2

y´ * sin (x) = - cos (x) * y(x) - x^(1/2)

y´ * sin (x)  + cos (x) * y(x)  = - x^(1/2)

homogene Gleichung:

y´ * sin (x)  + cos (x) * y(x)  = 0

y´ * sin (x)   = -  cos (x) * y(x)  

dy/dx * sin (x)  = -  cos (x) * y(x) 

dy/y= -cot(x)

ln|y| = -ln|sin(x)+C

|y|= e^(-ln|sin(x)+C)

|y| = 1/sin(x) * e^c

y = 1/sin(x) * ± e^c

y_h= C₁/sin(x)

Setze C₁=C(x)

yp=C(x)/sin(x)

yp'= C'(x) *1/sin(x) -C(x) Cos(x)/sin^2(x)

----->y_p und y_p' in die DGL einsetzen:

C'(x)= -√x

C(x)= (-2)/3 x^(3/2)

->

yp=C(x)/sin(x)

yp= 1/sin(x) *(-2)/3 x^(3/2)

y=yh+yp