Aufgabe:
(a) Seien n,d∈ℕ mit 0<d<n. Zeigen Sie, dass d¯ genau dann ein Nullteiler in ℤn ist, wenn ggT(d,n)>1 ist.
(b) Sei n∈ℕ und (a1,a2,…,an)∈ℤn. Beweisen Sie, dass es immer i,j∈{1,2,...,n} mit i≤j gibt, so dass \( \sum\limits_{k=i}^{j}{a_k} \) durch n teilbar ist.
Problem/Ansatz:
(a)
n,d∈ℕ, 0<d<n
Zu zeigen: d¯ ist Nullteiler in ℤn ⇔ ggT(d,n)>1
Zuerst wird die eine Richtung gezeigt: d¯ ist Nullteiler in ℤn ⇒ ggT(d,n)>1
Sei d¯ Nullteiler.
⇒ d*a ≡ 0 (mod n) für a∈ℤ.
⇒ ...
was wäre jetzt die weitere Vorgehensweise?
(b)
n∈N, (a1,a2,...,an)∈ℤn
Zu zeigen: ∃i,j∈{1,2,...,n} (i≤j) : n | \( \sum\limits_{k=i}^{j}{a_k} \)
Es gilt: 0 < i ≤ j ≤ n
...
Hier komme ich auch nicht mehr weiter... :(
MfG,
Doug.
