Die sprachliche Durchführung, so wie sie da steht, ist etwas holprig:
Die Folgepfeile ⇒sollen Gleichheitszeichen sein.
n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)[n/2+1)=(n+1)[n/2+2/2)=(n+1)(n+2)/2
Klammere das rote aus! Klammere 1/2 aus!
Der Schlusssatz muss heißen:
Aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschritt folgt die Behauptung.
Induktionsanfang: die Summe der ersten Zahl, also 1, ist laut Formel gleich 1(1+1)/2. Damit stimmt die Formel schon mal für n=1.
Ind.annahme: Nehmen wir mal an, die Formel stimmt für ein gewisses k (nicht das allgemeine n von oben). Können wir beweisen, dass sie dann für k+1 gilt? Wenn ja, nennt man diesen Beweis Induktionsschritt.
Induktionsschritt: Wenn die Summe der ersten n Zahlen gleich n(n+1)/2 ist, wollen wir zeigen, dass dann die Summe der ersten n+1 Zahlen gleich (n+1)(n+2)/2 wäre.
Nun ist die Summe der ersten n+1 Zahlen gleich der Summe der ersten n Zahlen plus n+1.\\
Da nach Induktionsvoraussetzung die Summe der ersten n Zahlen gleich n(n+1)/2 wäre, folgt, dass die Summe der ersten n+1 Zahlen n(n+1)/2+(n+1) wäre.\\
Also: n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)[n/2+1)=(n+1)[n/2+2/2)=(n+1)(n+2)/2
Dies entspricht der Formel, die dadurch bewiesen wurde. Aus dem Induktionsanfang und dem Induktionsschritt folgt die Behauptung. (Die Annahme beweist nichts.)