Hochpunkt einer Scharkurve h(t)=10*e^(0,4t-0,5kt^{2})

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Hochpunkt der Scharkurve:

h(t)=10*e^(0,4t-0,5kt^2)

Problem/Ansatz:

h‘(t)=0,4-kt*10e^(0,4t-0,5kt^2)=0

10t*e^(0,4t-0,5t^2)=0,4/k

Weiter komme ich nicht :( zumal als Lsg heraus kommt: H(0,4/k ; 10e^(0,08/k)

D.h theoretisch steht bei mir schon die Lsg, obwohl ich noch nicht nach t aufgelöst habe...

Comments

Zum einen hast du beim Ableiten offenbar irgendwelche Klammern vergessen und zum anderen enthält die Funktion h(t) überhaupt keinen Scharparameter. Könntest du bei Gelegenheit diese Punkte berichtigen?

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Ich habe ein \(k\) in \(h(t)\) ergänzt. Das hast du anscheinend vergessen, es lässt sich aber aus den folgenden Angaben schließen, dass dort fast sicher eins stehen muss.

Answer 1

Aloha :)

$$h(t)=10e^{0,4t-0,5kt^2}$$$$0\stackrel{!}{=}h'(t)=\underbrace{10e^{0,4t-0,5kt^2}}_{>0}\cdot\left(0,4-kt\right)$$Da die e-Funktion immer \(>0\) ist, kann \(h'(t)\) nur dort Null werden, wo auch die innere Ableitung \((0,4-kt)\) zu Null wird. Für \(k=0\) wird diese Klammer nie \(0\), das heißt \(h'_{k=0}(t)>0\). Für \(k=0\) gibt es also kein Extremum. Für alle anderen Werte \(k\ne0\) liegt das Extremum bei:$$t=\frac{0,4}{k}\quad;\quad k\ne0$$Bei solchen Schar-Funktionen muss man fast immer irgendwelche Sonderfälle betrachten. In deinem Fall hier ist es der Sonderfall \(k=0\).

Answer 2

Ich meine du hast den letzten Schritt noch nicht gemacht.
Es gibt nicht nur einen Hochpunkt sondern unendlich
viele. Für jedes k  : 1 Hochpunkt.
Die Funktion der Hochpunkte ist die sogenannte Ortskurve.
t = 0.4/k

eingesetzt in
h(t)=10*e^(0,4t-0,5kt^2)
h ( k ) = 10 * e ^(0.08/k)

Umformen
k = 1/ t
einsetzen
h ( t ) = 10 * e^(0.2*t )

ort ( t ) = 10 * e^(0.2*t )

blau : k = 1
rot : k = 4
grün : ortskurve