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ich stecke bei folgender Aufgabe leider bereits bei der ersten Umformung fest:


Aufgabe:

$$y'(1+x^2)=\sqrt{e^{-y}}$$


Nach Trennung der Variablen soll folgendes herauskommen:

$$\int_{}^{}e^{\frac{y}{2}}dy=\int_{}^{}\frac{1}{x^2+1}dx$$


Kann mir jemand auf die sprünge helfen?


Vorallem die Umformung der e-Funktion ist mir unklar.

Das Umstellen der restliche Gleichung klappt soweit.

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Hallo,

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B11.png

Avatar von 121 k 🚀

Das wars, danke!!


Das

$$\frac{1}{\frac{1}{e^{-y/2}}}dy$$


habe ich übersehen!

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Hallo,

das rechte Integral ist gerade der Arkustangens, das linke Integral löst man per linearer Substitution. Es gilt:$$\frac{dy}{dx}(1+x^2)=\sqrt{e^{-y}} \implies \frac{1}{\sqrt{e^{-y}}}dy=\frac{1}{1+x^2}dx$$ Hierbei ist \(\sqrt{e^{-y}}=\left(e^{-y}\right)^{1/2}=e^{-y/2}\), also \(\frac{1}{e^{-y/2}}=e^{y/2}\). Also:$$\implies \int_{}^{}e^{y/2}dy=\int_{}^{}\frac{1}{1+x^2}dx$$ usw.

Avatar von 28 k

Danke für die Erklärung!


Stand wohl auf dem Schlauch. Das hoch 1/2 habe ich vergessen.

Eine Sache ist mir noch unklar.

Wieso ist

$$\sqrt{e^{-y}}=\left(e^{-y}\right)^{1/2}=e^{-y/2}$$

genau das:

$$\frac{1}{e^{-y/2}}=e^{y/2}$$


also

$$e^{-y/2}=\frac{1}{e^{-y/2}}$$


und nicht

$$e^{-y/2}=\frac{1}{e^{y/2}}$$


Stände da ein x und kein e wäre das obere doch richtig?

Oder bin ich jetzt komplett verwirrt...

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Hallo

√a ist eine andere Schreibweise für a1/2. also √e^y=(e^y)1/2=ey/2

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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