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Aufgabe:

Berechnen Sie in Polarform alle 4.Komplexen Wurzel zu z = 2+2\( \sqrt{3} \) i


Problem/Ansatz:

Was ist mit alle 4.komplexen Wurzel gemeint ?

Ich habe es schonmal in Polarform gebracht : z=4*\( e^{\frac{π}{3}i} \)

Wenn ich das richtig verstehe, dann muss ich doch jetzt  z^4 =4*\( e^{\frac{π}{3}i} \)  oder?

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dann muss ich doch jetzt  w^4 =4*\( e^{\frac{π}{3}i} \)  oder?

z ist fest. Du brauchst einen andern Buchstaben.

Nun einfach den Winkel durch 4 dividieren und dann k mal π/2 addieren.

==> vier unterscheidbare 4. Wurzeln von z.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=w%5E4+%3D+%3D4*+e%5E%28%CF%80i%2F3%29 illustriert die 4 Wurzeln folgendermassen:

Skärmavbild 2020-02-12 kl. 14.37.54.png

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Okay, dann nehme ich w^4 = 4*\( e^{\frac{π}{3}i} \)

w0 =\( \sqrt{2} \) *(cos(\( \frac{1}{12}\) π )+i*sin(\( \frac{1}{12}\) π ))

w1 =\( \sqrt{2} \) *(cos(\( \frac{7}{12}\) π )+i*sin(\( \frac{7}{12}\) π ))

w2 =\( \sqrt{2} \) *(cos(\( \frac{13}{12}\) π )+i*sin(\( \frac{13}{12}\) π ))

w2=\( \sqrt{2} \) *(cos(\( \frac{19}{12}\) π )+i*sin(\( \frac{19}{12}\) π ))

Das ist gut so.

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Aloha :)

Deine Umwandlung in die Polarform gibt nur eine mögliche Darstellung wieder. Du kannst vom Winkel beliebig oft \(2\pi\) subtrahieren bzw. dazu addieren:$$z^4=4\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)}\quad;\quad k\in\mathbb{Z}$$Beim Ziehen der 4-ten Wurzel, wirst du 4 Werte für \(k\) finden, die einen Winkel aus \([0;2\pi[\) ergeben:$$z=4^{\frac{1}{4}}\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)\cdot\frac{1}{4}}=\sqrt2\,e^{i\left(\frac{\pi}{12}+\frac{k}{2}\pi\right)}\quad;\quad k\in\mathbb{Z}$$Für \(k=0,1,2,3\) findest du die 4 unterschiedlichen Lösungen:$$z_1=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{12}}\;\;;\;\;z_2=\sqrt2\,e^{i\frac{7\pi}{12}}\;\;;\;\;z_3=\sqrt2\,e^{i\frac{13\pi}{12}}\;\;;\;\;z_4=\sqrt2\,e^{i\frac{19\pi}{12}}$$Alle anderen \(k\in\mathbb{Z}\) lassen such auf diese \(4\) zurückführen.

Avatar von 152 k 🚀

Danke, das habe ich auch raus bekommen.

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